Хабрахабр

Виды бесконечностей и вынос мозга

Эта статья — продолжение статьи про громадные числа. Но сейчас мы пойдем еще дальше — в бесконечности бесконечностей.
Для этого нам понадобится ZFC — теория множеств Zermelo, Frenkel + Choice. Choice — это аксиома выбора, самая спорная аксиома теории множеств. Она заслуживает отдельной статьи. Предполагается, что вы знаете, что такое «мощность» множества. Если нет, то погуглите, наверняка это изложено лучше, чем смогу я. Здесь я лишь напомню некоторые

Известные факты

  • Мощность множества целых чисел обозначается $\aleph_0$. Это первая бесконечная мощность, такие множества называются счетными.
  • Мощность любого бесконечного подмножества целых чисел — простые, четные итд. — тоже счетна.
  • Множество рациональных чисел, то есть дробей p/q тоже счетно, их можно пройти змейкой.
  • Для любой мощности есть операция powerset — множество всех подмножеств, которая создает мощность бОльшую, чем исходная. Иногда эта операция обозначается как возведение двойки в степень, то есть $powerset(\aleph_0) = 2^ = \aleph_c$. powerset от счетной мощности есть мощность континуума.
  • Мощностью континуума обладают: конечные и бесконечные отрезки, плоские и объемные фигуры, и даже n-мерные пространства целиком
  • Для обычной математики следующая мощность, $powerset(\aleph_c)$ практически не нужна, обычно вся работа происходит со счетными множествами и множествами мощности континуума

Теперь

Малоизвестные факты

В ZFC не все собрания элементов могут быть множествами. Бывают коллекции столь широкие, что позволить им быть множествами нельзя, возникают парадоксы. В частности, "множество всех множеств" не есть множество. Впрочем, есть теории множеств, где такие множества разрешены.

Теория множеств… Каких объектов? Дальше. Яблок? Чисел? Как ни странно, ZFС не нуждается ни в каких объектах. Апельсинов? 1 обозначим с помощью {{}}, двойку как {{{}}} итд. Возьмем пустое множество {} и договоримся, что оно означает 0. С помощью целых чисел мы можем создать вещественные, а коллекции вещественных создают любые фигуры. {5,2} есть {{{{{{{}}}}}}, {{{}}}}.

Это теория ни о чем. Таким образом, теория множеств это… как бы сказать… пустотелая теория. Точнее, о том как можно нестить (nest, то есть вкладывать друг в друга) фигурные скобки.

А как же объединение, исключение, равенство итд.? Единственная операция, которая определена в теории множеств, это $\in$ — символ принадлежности. Все это макросы, например:

$(A = B) \equiv \forall x((x \in A) = (x \in B))$

То есть, в переводе на русский язык, два множества считаются одинаковыми, когда при тестировании любого элемента на принадлежность к им мы будем получать одинаковые результаты

Неэлегантно с точки зрения программиста, но достаточно для математика. Множества не упорядочены, но это можно исправить: пусть упорядоченная пара (p,v) это {{p}, {p, v}}. Et voila! Теперь множество всех пар param-value задает функцию, которая теперь тоже множество! весь математический анализ, который работает на уровне языков второго порядка, так как говорит не о существовании чисел, а существовании функций — коллапсирует в язык 1 порядка!

Это своеобразное TOE математики. Таким образом, теория множеств — это убогая теория без объектов и с одним значком отношения, которая обладает совершенно чудовищной силой — без каких то новых допущений она порождает из себя формальную арифметику, вещественные числа, анализ, геометрию и многое другое.

Гипотеза континуума — CH

Существует ли мощность между $\aleph_0$ и $2^{\aleph_0}$? Это проблему не мог решить Кантор, «король математиков» Гильберт высоко оценивал ее важность, но лишь позже было доказано что эту гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Она независима от ZFC.

На самом деле даже больше, чем две. Это означает, что вы можете создать две разных математики: одну с ZFC+CH, другая ZFC+(not CH). Сколько их может быть? Допустим, мы отвергнем CH, то есть будем верить, что между $\aleph_0$ и $2^{\aleph_0}$ есть еще мощности. Гедель верил, что только одна. Одна, две? Любое число, но не бесконечное! Но, как оказалось, предположение о том, что их 2, 17, 19393493 не приводит к противоречиям.

В теории множеств это не работает, мы реально получаем разные математики. Когда в формальной арифметике мы сталкиваемся с недоказуемым утверждением, то в силу определенных причин мы знаем, что, тем не менее, это утверждение, хоть и не доказуемо, но на самом деле либо истинно, либо ложно. Есть три философских подхода: Как к этому относиться?

Мы задаем правила игры в символы, разные правила — разный результат. Формализм: а чему, собственно, удивляться? Не надо искать проблему там, где ее нет

Не говорит ли это о том, что за формулами стоит какая то реальность, которую мы изучаем? Платонизм: Но как тогда объяснить, что совершенно разные теории, например ZFC и New Foundations, построенные по совершенно разным принципам, дают почти всегда один и тот же результат? Такой точки зрения придерживался, например, Гедель

Мы должны воспринимать картину в целом — если с разными системами аксиом ассоциировать цвет, то цветное дерево следствий и есть математика. Multiverse: У нас может быть много аксиоматик, иногда дающих одинаковый результат, иногда нет. Если что-то верное везде — это белый цвет, но есть и цветные ветви.

Все выше и выше.

В дальнейшем мы, для простоты, примем гипотезу континуума, то есть $powerset(\aleph_0) = \aleph_1 = \aleph_c$ — это очень удобно. На самом деле мы примем и более сильную аксиому, обобщенную гипотезу континуума, что между x и powerset(x) никогда нет промежуточных мощностей. Теперь мы итерируем powerset и все просто:

\rightarrow \aleph_{36463634} \rightarrow$" data-tex="display"/> <img src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/cce/e92/6e7/ccee926e7132c4acfd2d7cd7223658d2.svg" alt="$\aleph_0 \rightarrow \aleph_1 \rightarrow \aleph_2 \rightarrow ...

Как далеко мы можем продвинуться? После бесконечного количества итераций мы дойдем до $\aleph_\omega$ — бесконечная по порядку мощность! Кстати, ее существование было неочевидно Кантору. Но секунду! Ведь функция powerset всегда определена, поэтому $\aleph_\omega$ не может быть последней!

$\aleph_\omega \rightarrow \aleph_{\omega+1} \rightarrow \aleph_{\omega+2} \rightarrow ...$

Чтобы получить $\aleph_{\omega+3}$ надо повторить powerset бесконечность и еще три раза. У вас уже начало сносить крышу? То ли еще будет. Потому что снова проитерировав powerset бесконечное число раз, мы дойдем до $\aleph_{\omega+\omega} = \aleph_{\omega2}$, после чего, естественно, идет $\aleph_{\omega2+1}$

Как вам такая мощность, например: $\aleph_{\omega^3+\omega^2+\omega4+48745}$? Дойдя до бесконечности бесконечное число раз, мы получим индекс $\omega^2$. Пока мы итерировали powerset по списку ординалов, вот начальные ординалы:

image

Так что мы сразу все это пропустим и сделаем но их значительно, значительно больше.

Сразу большой шаг

Внимание! То что написано дальше, может быть опасно для вашего мозга! Мы итерировали powerset счетное число раз, а не замахнуться ли нам на континуум? Честно, меня самого немного колбасит от того, что цикл может выполняться континуум раз, но теория множеств требует существования

$\aleph_{\aleph_1}$

Далее мы пойдем быстрее:

\rightarrow \aleph_{\aleph_\omega} = \aleph_{\aleph_\aleph} \rightarrow$" data-tex="display"/> <img src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/7ba/bbb/7b8/7babbb7b8b5706eb07ff1f42aaae487b.svg" alt="$\aleph_{\aleph_1} \rightarrow \aleph_{\aleph_2} ...

У последнего алефа индекс ноль, но местный latex не дает его поставить — слишком много уровней. Но главное вы поняли, какую бы новую чудовищную мощность мы бы не создали, мы можем сказать — ага, это всего лишь повторитель, и поставить всю эту конструкцию к новому алефу в виде индекса. Теперь мощности растут как снежный ком, нас не остановить, пирамида алефов все выше, и мы можем создать любую мощность… Или нет?

Недостижимые мощности

Что если есть мощность настолько большая, $\theta$, что как бы мы ее ни пытались достичь «снизу», выстраивая конструкции из алефов, мы ее не достигнем? Оказывается, существование такой мощности независимо от ZFC. Вы можете принять ее существование или нет.

Математики придерживаются противоположного принципа, который называется онтологический максимализм — пусть существует все, что возможно. Я слышу шепот «бритва Оккама»… Нет, нет. Но существуют еще как минимум две причины, почему эту гипотезу хочется принять.

  • Во первых, это не первая недостижимая мощность, которую мы знаем. Первая… это всем знакомая счетная мощность. Как ни странно, она обладает всеми свойствами недостижимой — просто ее не принято так называть:
  • Бесконечную мощность никак не получить «снизу» — ни добавляя элементы конечное количество раз, ни итерируя powerset() конечное число раз, используя конечные множества для затравки, бесконечности вы не получите. Чтобы получить бесконечность, вы где-то должны уже иметь ее.
  • Существование бесконечной мощности вводится специальной аксиомой — аксиомой бесконечности. Без нее существование бесконечной мощности недоказуемо.

Давайте выпишем все эти множества (так называемая модель теории) Второе: если отвергнуть аксиому бесконечности, то мы получим FinSet, простую игрушечную теорию множеств с конечными множествами.

Теги
Показать больше

Похожие статьи

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Кнопка «Наверх»
Закрыть