Главная » Хабрахабр » Ранняя вселенная 6. Динамика однородной расширяющейся вселенной, часть 2

Ранняя вселенная 6. Динамика однородной расширяющейся вселенной, часть 2

На сайте бесплатных лекций MIT OpenCourseWare выложен курс лекций по космологии Алана Гуса, одного из создателей инфляционной модели вселенной.

Вашему вниманию предлагается перевод шестой лекции: «Динамика однородной расширяющейся вселенной, часть 2».

Невозможность существования статичной вселенной

Давайте кратко повторим, на чем мы остановились в прошлый раз, поскольку мы не закончили предыдущую тему.

Вспомним, что Ньютон пришел к выводу, что такая система будет статичной. Мы рассматривали абсолютно однородную вселенную, в которой вещество заполняет все пространство. Однако я утверждаю, что такая система не будет статичной даже согласно законам Ньютоновской механики.

Я привел несколько доказательств. Мы, например, рассмотрели теорему Гаусса для закона тяготения Ньютона. При помощи достаточно простых рассуждений мы перешли от закона тяготения Ньютона, сформулированного как сила, действующая на расстоянии, к закону Гаусса. Если сила тяготения описывается законом Ньютона, то для любой частицы, создающей гравитационное поле, выполняется закон Гаусса.

Если мы применим закон Гаусса к бесконечному распределению вещества, и предположим, что Ньютон был прав, и нет гравитационных сил, это означало бы, что гравитационное ускорение $\vec g$ было бы везде равно нулю. Поток вектора гравитационного ускорения $\vec g$ через любую замкнутую поверхность равен $-4πGM$, где $M$ — масса внутри поверхности. Однако $-4πGM$ явно не равно нулю для любого объема с ненулевым размером, содержащего ненулевую массу. Тогда поток $\vec g$ через любую поверхность тоже будет равен нулю. Таким образом, такая формулировка закона тяготения Ньютона ясно показывает, что бесконечное распределение вещества не может быть статичным.

Она была приведена для тех, кто с ней знаком. Кроме того, я показал другую, более современную формулировку закона тяготения Ньютона, так называемого уравнение Пуассона. В этом нет необходимости. Если вы с ней не знакомы, ни чего страшного.

Для этой формулировки закона гравитации мы введем гравитационный потенциал φ, и запишем гравитационное ускорение как минус градиент φ. Тогда можно показать, что φ подчиняется уравнению Пуассона,

$$display$$∇^2φ = 4πGρ$$display$$

, где ρ – плотность массы.

Если бы распределение вещества было статичным, то вектор $\vec g$ был бы равен 0. Опять, сразу видно, что статичное распределение вещества невозможно. Это означало бы, что φ было бы константой. Это означает, что градиент φ был бы равен 0. Если φ являлось бы константой, $∇^2φ$ было бы равно 0, а это несовместимо с уравнением Пуассона.

В частности, при обобщении закона Ньютона на общую теорию относительности Эйнштейн начал с уравнения Пуассона, а не с закона, описывающего силу на расстоянии. Хочу также добавить, что с современной точки зрения, такие уравнения, как уравнение Пуассона, считаются более фундаментальными, чем первоначальное уравнение Ньютона, рассматривающего гравитацию как действие на расстоянии.

Общая теория относительности формулируется способом, очень похожим на уравнение Пуассона. В общей теории относительности нет закона, описывающего действие силы на расстоянии. Ключевая идея, лежащая в основе такого подхода, заключается в том, что все известные нам законы физики могут быть выражены локально.

Это дифференциальное уравнение, которое выполняется в каждой точке пространства и ничего не говорит о том, как материя в одной точке пространства влияет на материю в другой точке. Уравнение Пуассона – это локальное уравнение. Это влияние является следствием уравнения, а не встроено в уравнение изначально.

Неоднозначность вычисления гравитационного ускорения

Затем мы обсудили, что будет, если сложить силы, используя закон Ньютона и действие на расстоянии. Я показал, что получится условно сходящийся интеграл. Такой интеграл сходится, но он может сходиться к разным значениям в зависимости от того, в каком порядке складывать разные части интеграла.

Мы рассмотрели два возможных порядка сложения сил. Мы вычислили силу в точке $P$, находящейся внутри бесконечного распределения вещества. Можно считать, что вся картинка заполнена веществом. В нашей задаче вещество равномерно заполняет всю картинку и всю вселенную. Единственное, что мы будем делать по-разному в наших двух вычислениях — это суммировать создаваемые веществом силы в разном порядке.

Поэтому в пределе, когда мы сложим бесконечное количество оболочек, сумма все равно будет равна 0. Если брать вещество, упорядоченное по концентрическим оболочкам вокруг $P$, то каждая оболочка не создает никакой силы в точке $P$. Таким образом, для этого случая мы получаем $\vec g$ равное 0.

Закон Ньютона просто утверждает, что каждая масса создает силу пропорциональную $1/r^2$, и что это вектор. Но закон Ньютона ничего не говорит нам, в каком порядке складывать силы. Обычно сложение векторов коммутативно. Согласно Ньютону нужно сложить векторы сил, создаваемые каждой массой. Но в нашем случае порядок сложения имеет значение. Не имеет значения, в каком порядке мы их складываем. Поэтому, ответ неоднозначен.

Мы по-прежнему будем использовать сферические оболочки, потому что с ними проще работать. Чтобы это увидеть, мы рассмотрим другой порядок сложения. Можно было бы складывать другим способом, но любую другую форму гораздо сложнее использовать.

Мы назовем эту точку $Q$. На этот раз мы рассмотрим сферические оболочки, с центром в другой точке. Мы опять вычислим силу в точке $P$, создаваемую бесконечным распределением вещества, заполняющим пространство, то есть решим ту же задачу, что и раньше, но будем складывать силы в другом порядке.

А все остальное вещество может быть разбито на сферические оболочки, для которых точка $P$ находится внутри. В прошлый раз мы показали, что все вещество внутри сферы, с центром в $Q$ и радиусом меньше расстояния от $Q$ до $P$, дает вклад в силу в точке $P$. Так что все остальное вещество не вносит никакого вклада. Внутри сферической оболочки сила равна нулю.

Очевидно, что эта сила не равна нулю. В данном случае сила в точке $P$ равна силе, создаваемой точечной массой, расположенной в $Q$, и массой равной общей массе затененной области. Мы можем увеличить силу, выбрав более далекую точку. Кроме того, очевидно, что мы можем получить какую угодно силу, выбирая различные точки $Q$. Поскольку сила всегда будет указывать в направлении точки $Q$, мы можем получить силу в любом направлении, выбрав точку $Q$ в соответствующем месте.

Таким образом, описание гравитации как действие на расстоянии, приводит к неоднозначности. Поэтому, в зависимости от того, как мы суммируем силы, мы можем получить любой ответ. Скоро мы попробуем выяснить, как именно она будет себя вести. Описание гравитации в виде закона Гаусса или закона Пуассона показывает, что система не может быть статичной.

Проблема симметрии

Теперь я хочу вернуться к аргументу, который убедил Ньютона в статичности вселенной. Ньютон считал, что при вычислении гравитационного ускорения в определенной точке в бесконечном распределении вещества возникает проблема симметрии. Все направления из этой точки выглядят одинаково. Если существует гравитационное ускорение в данной точке, то куда оно должно быть направлено? Этот аргумент симметрии очень логичный и звучит очень убедительно. Не может быть никакого ускорения, просто потому, что не существует никакого предпочтительного для него направления.

Я не знаю, удалось бы нам его убедить его или нет. Вероятно, было бы трудно убедить Ньютона в ошибочности данного аргумента. Ньютон сам всегда его так описывал. У нас нет возможности попробовать это сделать.
Но если бы у нас была такая возможность, мы попытались бы объяснить ему, что ускорение обычно измеряется в инерциальной системе отсчета. Это терминология Ньютона. Для него существовала уникальная инерциальная система отсчета, с точностью до постоянной скорости, определяемая относительно неподвижных звезд. Все его законы физики были справедливы в этой инерциальной системе. Так он определял инерциальную систему отсчета.

Пропадает сама идея инерциальной системы отсчета. С другой стороны, если все пространство заполнено материей, которая, как мы утверждаем, будет сжиматься, то неподвижных звезд не существует. Не существует объекта, который был бы в покое или двигался равномерно относительно любой потенциальной инерциальной системы отсчета.

Можно говорить об ускорении одной частицы относительно другой. В отсутствие инерциальной системы отсчета нужно признать, что все ускорения, как и скорости, являются относительными. Но нельзя говорить об абсолютном ускорении частицы, потому что не существует инерциальной системы отсчета, в которой можно измерить ускорение.

Закон Хаббла — это закон о скоростях. Когда все ускорения относительны, оказывается, что правильное описание, которое мы в конечном итоге выведем, это описание, похожее на закон Хаббла. Несмотря на то, что кажется, что наблюдатель находится в особом месте, можно перейти к системе отсчета любого другого наблюдателя и увидеть абсолютно ту же самую картину. Он гласит, что с точки зрения любого наблюдателя все остальные объекты удаляются от этого наблюдателя. Это не нарушает симметрию, которую мы пытаемся включить в систему. Таким образом, то, что все объекты удаляются от наблюдателя, не нарушает однородности. Я не буду сейчас это доказывать. То же самое относится и к ускорению. Мы покажем это в ходе наших будущих расчетов.

Тогда наблюдатель увидит, что все остальные частицы ускоряются по направлению к нему. В нашей коллапсирующей вселенной любой наблюдатель может считать себя находящимся в покое. Можно перейти в систему отсчета любого другого наблюдателя и увидеть, что теперь он находится в покое, а все остальные объекты ускоряются по направлению к нему. Хотя это звучит так, будто наблюдатель находится в особенном месте, это не так.

Математическая модель вселенной

Теперь мы готовы пойти дальше и построить математическую модель, которая покажет нам, как будет вести себя равномерное распределение вещества. Сначала мы устраним проблему бесконечностей. Для этого мы начнем с конечного шара. Затем, в самом конце, мы увеличим размер этого шара до бесконечности.

Мы хотим включить в нее три особенности, которые ранее обсуждали — изотропию, однородность и закон Хаббла. Наша цель — построить математическую модель нашей вселенной. Мы будем использовать законы Ньютона. Мы построим ее как механическую систему, используя известные нам законы механики. Позже мы обсудим, почему это так. Но я уверяю вас, что, хотя мы будем использовать законы Ньютона, ответ, который мы получим, в точности совпадет с ответом, даваемым общей теорией относительности. Мы получим абсолютно верный расчет, который даст нам абсолютно правильный ответ. Мы не будем тратить время на приближенные расчеты.

Для того, чтобы построить модель вселенной, мы представим, что наша вселенная представляет собой наполненный веществом шар конечного размера. Пусть $t_i$ – это начальный момент времени на нашей картинке. Этот момент времени не обязан быть каким-то особенным, с точки зрения эволюции вселенной. Когда мы построим модель, мы сможем вычислить, как вселенная будет вести себя во времена более поздние, чем $t_i$ и во времена более ранние, чем $t_i$. $t_i$ — это просто текущее время.

Я назвал его максимальным, поскольку шар заполнен частицами. Для времени $t_i$ мы зададим нашему шару максимальный размер $R_$. Начальное имеется ввиду во время $t_i$. Таким образом, это начальное максимальное расстояние от центра шара до любой частицы. Вещество имеет плотность $ρ_i$. Мы будем считать заполняющее шар вещество пылью из очень мелких частиц. Вещество однородно и изотропно, по крайней мере изотропно из центра.

Пусть у нас все вещество, в нашей модельной вселенной, расширяется, причем расширяется точно согласно закону Хаббла. Теперь мы хотим добавить закон Хаббла. Я обозначу скорость частицы $v_i$, $i$ означает начальная скорость. А именно, все скорости будут направлены от центра с величиной, пропорциональной расстоянию. Она будет равна некоторой константе, которую я назову $H_i$ — начальное значение постоянной Хаббла, умноженной на вектор $\vec r$, который равен вектору от центра шара до частицы. Для любой частицы в начальный момент скорость будет подчиняться закону Хаббла. Он показывает, где находится рассматриваемая частица.

$\vec v_i = H_i \cdot \vec r $

$H_i$ — начальная постоянная Хаббла. Таким образом, $\vec v_i$ — начальная скорость любой частицы. А $\vec r$-положение частицы.

Мы знаем, как однозначно вычислить, по крайней мере, в принципе, как такая система будет эволюционировать при заданных начальных условиях. Как я уже сказал, мы начнем с конечной по размеру системы, с которой мы умеем работать. Таким образом мы распространим нашу модель на бесконечное пространство. В конце расчета мы перейдем к пределу, когда $R_{max,i}$ стремится к бесконечности.

Небольшое отступление о бесконечностях

Хочу еще сказать несколько слов о бесконечности, поскольку недавно встретился с одной интересной вещью. Это небольшое отступление, вы можете не обращать на него внимания. Но тем, кому интересно, понятие бесконечности преподнесло неожиданный сюрприз при рассмотрении мультивселенной, о которой я немного рассказал в обзорной лекции, и к которой мы вернемся в конце курса.

В процессе я узнал некоторые вещи о бесконечности, которые меня удивили. Мультивселенная заставила работать с бесконечностями гораздо осторожнее, чем раньше. Если мы хотим понять поведение бесконечной системы, в физике мы очень часто начинаем с рассмотрения конечной системы, с которой гораздо легче работать математически. В основном, в физике мы рассматриваем бесконечность как предел конечных систем, как мы поступаем в нашей модели. Затем мы берем предел, при котором система становится все больше и больше.

Я полагаю, что это работает потому, что мы исходим из того, что физические взаимодействия являются локальными. В физике это работает почти во всех ситуациях. То, что происходит очень далеко, не влияет на происходящее здесь.

Это новое вещество, который мы добавляем, не будет сильно влиять на то, что происходит внутри. По мере того, как мы делаем нашу сферу все больше и больше, мы добавляем вещество на все больших и больших расстояниях. На самом деле, в нашей задаче, дополнительное вещество, добавляемое снаружи, не будет имеет никакого влияния на то, что происходит внутри, из-за того, что гравитационное поле внутри сферической оболочки равно 0.

Однако я хочу отметить, что это не всегда правильно. Это типичная ситуация, и из-за этого физики склонны всегда рассматривать бесконечности как пределы конечных систем. Математики знают об этом, а физики – обычно нет. Бывают случаи, когда это абсолютно неправильно.

Это не относится к описанию нашей модельной вселенной. Поэтому я хочу отметить, что не все бесконечности хорошо описываются как пределы конечных систем. Мы продолжим обсуждение нашей модели после того, как я закончу свое небольшое отступление. Здесь у нас все хорошо.

В качестве примера системы, которая бесконечна и не очень хорошо описывается как предел конечных систем, можно взять множество натуральных чисел $\mathbb N$.

Можно попробовать считать множество всех натуральных чисел как множество натуральных чисел меньших N при N стремящемся к бесконечности. Предположим, мы хотим описать множество натуральных чисел как предел конечного множества. Если мы берем наборы из все большего и большего количества чисел и берем предел, получим ли мы множество всех натуральных чисел?

Я утверждаю, что получившееся множество не равно множеству целых чисел. Можно подумать, что ответ утвердительный. На самом деле, я утверждаю, что предел вообще не существует, поэтому он не может быть равен множеству целых чисел.

Поскольку у нас не математический курс, я не буду давать строгого определения. Чтобы это прояснить, я напомню вам, что такое предел. Я просто приведу вам пример, который освежит в памяти факты, которые вы узнали на математических курсах.

Известно чему он равен. Предположим, мы рассматриваем предел $sin(x)/x$ при $x$ стремящемся к 0. Но можно просто напрямую использовать определение предела. Обычно используют правило Лопиталя. Значение предела равно 1.

При $x=0$ выражение неоднозначно. Для любого $x$ не равного 0, мы можем вычислить это выражение. Мы можем получить число сколь угодно близкое к 1, выбрав $x$ достаточно близко к 0. По мере того, как $x$ становится все ближе и ближе к 0, получаемые числа становятся все ближе к 1.

Близки ли числа от 1 до 10 к множеству всех натуральных чисел? Если применить то же понятие к множеству целых чисел от 1 до N, будет ли оно приближаться к множеству всех натуральных чисел при увеличении N? А от 1 до миллиона? Нет. От 1 до миллиарда? Все еще бесконечно далеко. От 1 до 10 в сотой степени?

Мы не становимся ближе. Независимо от того, какое число мы выберем в качестве верхнего предела, мы все равно бесконечно далеки от множества натуральных чисел. Это другое понятие. Наши множества не сходятся к множеству натуральных чисел.

Есть ли какие-либо вопросы, где важно, считаете ли вы натуральные числа определенные каким-либо другим способом или этим пределом? Какое это имеет значение? Давайте сначала я скажу, как они определяются.

Ключевой пункт в аксиомах Пеано, который определяет факт существования бесконечного числа натуральных чисел, это аксиома следования. Если спросить у математиков, как они определяют множество натуральных чисел, я думаю, все они скажут, что они используют аксиомы Пеано.

Кроме того, имеются другие утверждения, которые гарантируют, что следующее число не является одним из предыдущих. Одной из аксиом Пеано, которые математически описывают натуральные числа, является утверждение, что у каждого натурального числа имеется число, следующее за ним. Этот набор аксиом изначально гарантирует бесконечность множества натуральных чисел. Таким образом, для любого числа, имеется еще большее число. Потому что никакое конечное множество не похоже на бесконечное множество. Оно не рассматривается как предел конечных множеств и не может рассматриваться как предел конечных множеств.

Существуют ли задачи, в которых важно, можем ли мы описать целые числа таким образом или нет? Имеет ли это значение? Но хочу сказать, что в математике слово «надуманный» не имеет значения. Я признаю, что те задачи, которые я знаю, звучат надуманно. Если это действительно противоречие, оно имеет значение. Если вы где-то обнаружите противоречие, никто не скажет вам, что это противоречие стоит игнорировать, потому что оно надумано.

Вопрос, в котором действительно имеет значение, рассматриваем ли мы натуральные числа как изначально бесконечные, или мы рассматриваем их как предел, это, например, вопрос — какая часть натуральных чисел настолько велика, что при удвоении они перестают быть натуральными числами?

Это соотношение будет выполняться независимо от того, насколько большим мы выбрали N. Если мы рассмотрим конечное множество, для любого N, независимо от того, насколько велико N, половина целых чисел из этого множества настолько велика, что их нельзя удвоить, так, чтобы они остались в этом множестве.

Это пример свойства натуральных чисел, которое будет неверным, если считать множество натуральных чисел пределом. С другой стороны, если мы посмотрим на бесконечный ряд натуральных чисел, мы знаем, что любое натуральное число может быть удвоено, мы просто получим другое натуральное число. Так делать нельзя.

Это просто предупреждение о том, что нужно быть осторожным по отношению к бесконечности как пределу конечных множеств. Это было небольшое отступление. Однако, оно не имеет прямого отношения к нашей теме.

Хочу еще сделать пару замечаний о форме, используемой в модели. Замечание об используемой форме
Давайте вернемся к нашей модели. Вы можете спросить, почему сферы? Мы используем сферы.

Сфера также гарантирует изотропию, по крайней мере, изотропию из центра. Сфера, безусловно, самая простая форма, с которой мы можем работать. По мере того, как куб становится все больше и больше, он также заполнит все пространство. Мы могли бы, проделав значительно больше работы, использовать, например, куб, увеличивая куб все больше и больше. И это действительно так. Можно предположить, что этот другой способ даст тот же самый ответ.

Но мы получили бы тот же самый ответ. Если бы мы использовали кубы, у нас было бы гораздо больше вычислений. В данном случае он даст такой же результат, что и сфера. Куб достаточно симметричен. Но я гарантирую, что куб даст тот же ответ. Я не буду рассказывать вам, как вычислить результат для произвольной формы.

Одно из направлений будет выделенным. С другой стороны, если мы будем использовать параллелепипеды, с тремя, или, по крайней мере, двумя разными сторонами, то мы начнем с изначально асимметричной фигуры. Мы получим анизотропную модель вселенной. Затем, если мы будем использовать такие параллелепипеды, аналогично тому, как мы используем сферы, мы изначально создадим анизотропию.

Сфера — это самая простая форма, которую можно использовать. Так как мы пытаемся смоделировать реальную вселенную, которая в высокой степени изотропна, мы используем форму, которая гарантирует изотропию.

Роль вещества в эволюции вселенной

Теперь, давайте добавим динамику в нашу модель. Динамика, которую мы добавим, будет чисто Ньютоновской динамикой. Мы будем считать вещество, которое наполняет сферу, пылью Ньютоновских частиц, или, если хотите, газом Ньютоновских частиц.

Эта модель описывает нашу реальную вселенную для значительного отрезка ее эволюции, но не для всего периода эволюции. Эти частицы будут нерелятивистскими, что подразумевается под словом Ньютоновские. Прежде чем мы продолжим, я хочу сказать несколько слов о реальной вселенной и о том, какая материя доминировала в ней в разные эпохи эволюции.

Это означает, что, если проследить за эволюцией нашей вселенной назад во времени, и посмотреть, что происходило во все более ранние времена, фотоны космического фонового излучения будут испытывать синее смещение. В начале в нашей вселенной, как мы полагаем, господствовало излучение.

Это означает, что, если мы экстраполируем в обратном направлении, они будут испытывать синее смещение. Мы выяснили, что они испытывают красное смещение по мере расширения вселенной. Количество фотонов остается постоянным. Каждый фотон становится все более энергичными. И они становятся все более энергичными. Их концентрация увеличивается из-за уменьшения объема.

Но они не становятся более энергичными. Между тем, концентрация частиц обычного вещества и темной материи, из чего бы она ни состояла, также увеличивается при движении назад во времени. Протон остается частицей, энергия которой равна массе протона, умноженной на $c^2$.

Позднее мы научимся это точно вычислять. Таким образом, по мере движения назад во времени, плотность энергии космического микроволнового фонового излучения становится все больше по сравнению с плотностью энергии вещества. Они сравниваются при возрасте вселенной около 50 000 лет.

СТУДЕНТ: Если частицы — это волны, то почему они не меняются?

Но мы предполагаем, что эти частицы имеют пренебрежимо малую скорость. ПРЕПОДАВАТЕЛЬ: На самом деле, немного меняются. Но синее смещение пропорционально начальному значению. Их импульс испытывает синее смещение. Если начальное значение очень мало, даже когда оно смещается в большую сторону, импульс все равно остается незначительным.

Мы поговорим об этом через несколько лекций. Таким образом, в реальной вселенной, до примерно 50 000 лет, доминировало излучение. Затем, начиная с около 50 000 лет и до 9 миллиардов лет, довольно большой период в истории вселенной, во вселенной доминировало вещество. Но сегодня мы это не учитываем. Это стандартный термин в космологии. Вещество означает нерелятивистское вещество. Это случай, который мы будем сегодня рассматривать, обычное нерелятивистское вещество, заполняющее пространство. Когда мы говорим, что во вселенной доминирует вещество, хотя мы не используем слово нерелятивистское, это всеми подразумевается.

Темная энергия — это нечто, что заставляет вселенную ускоренно расширяться. Затем в нашей реальной вселенной произошло еще одно изменение – примерно с 9 миллиардов лет до настоящего времени и, предположительно, так же будет в будущем, во вселенной стала доминировать темная энергия. Вселенная расширяется ускоренно начиная с примерно 9 миллиардов лет после Большого Взрыва.

Просто они ведут себя по-разному при расширении вселенной. Обычное вещество не превращается в темную энергию, как можно было бы предположить из-за смены доминирования. Фиксированное число частиц распределяется по все большему объему. Плотность обычной материи уменьшается пропорционально кубу масштабного фактора. 9 миллиардов лет назад плотность обычной материи упала ниже плотности темной энергии. Темная энергия, по причинам, о которых мы узнаем ближе к концу курса, не меняет свою плотность энергии по мере расширения вселенной. Сегодня темная энергия составляет около 60% или 70% от общей энергии. Затем темная энергия начала доминировать и вселенная начала расширяться ускоренно. Но это самая большая часть. Это не абсолютное доминирование.

Мы еще вернемся и обсудим другие эпохи. Для сегодняшнего вычисления мы сосредоточимся на среднем периоде и притворимся, что это вся история. Но сегодня мы их обсуждать не будем. Мы не будем их игнорировать.

Разбиваем на оболочки

Итак, мы рассмотрим вселенную, в которой доминирует вещество. Мы будем пользоваться Ньютоновской механикой. Несмотря на то, что мы будем использовать Ньютоновскую механику, уверяю вас, и позже постараюсь привести некоторые аргументы, она даст точно такой же ответ, как и общая теория относительности.

Мы представим наш шар в виде составляющих его оболочек. Для того, чтобы записать уравнения, описывающие расширение шара, мы будем использовать сферические оболочки. Мы введем обозначение для каждой из оболочек и проследим за их эволюцией. Другими словами, в начальный момент времени мы разделим вещество на оболочки.

Согласно закону Хаббла, скорости пропорциональны радиус-вектору, отложенному от центра шара. Причина, по которой мы можем все вещество описать при помощи оболочек, заключается в том, что начальные скорости всех частиц направлены вдоль радиуса. Поэтому, все наши начальные скорости направлены вдоль радиуса.

Поэтому движение любой частицы будет направлено вдоль радиуса. Кроме того, Ньютоновская сила тяжести для частиц, также будет направлена вдоль радиуса. При изменении радиуса каждой частицы, ее угловые переменные ϑ и ϕ будут постоянными во времени. Никогда не возникнет никаких сил, которые будут действовать на частицу в тангенциальном направлении, где тангенциальное означает любое направление, кроме радиального. Поэтому я больше не буду о них говорить.

В дальнейшем это обозначение оболочки сохраняется. Каждая оболочка имеет обозначение $r_i$, равное ее радиусу в начальный момент времени $t_i$.

Функция равна радиусу оболочки $r_i$ в момент времени $t$. Для описания движения мы введем функцию $r(r_i,t)$. Функция $r(r_i,t)$ показывает нам, где оболочка находится в любое более позднее или раннее время.

Зачем я его усложняю? Должен сказать, что в учебнике вы увидите более простой вывод, чем тот, что я вам покажу. В большинстве учебников предполагается, что движение оболочек будет продолжать подчиняться закону Хаббла и сохранять полностью однородную плотность. Дело в том, что мой расчет покажет больше, чем тот, что приведен в учебнике. Мы докажем, что оно остается однородным. Мы не будем предполагать, что вещество остается однородным. Мне кажется, гораздо лучше доказать что-то, чем просто предположить, не доказывая этого.

Опять же, это тонкость, которая, скорее всего, не упоминается в учебниках. Есть еще одна проблема, которая немного сложнее. Мы можем вычислить силу, действующую на любую оболочку, если мы знаем какое вещество находится внутри этой оболочки. У нас есть различные расширяющиеся оболочки. Поэтому, очень важно знать, в каком порядке расположены оболочки. Оболочки снаружи не создают силы. Они упорядочены в соответствии с $r_i$. Изначально, мы, конечно, это знаем. Но как только они начинают двигаться, в принципе, есть возможность, что оболочки начнут пересекать друг друга.

Мы должны будем принять это во внимание. Если оболочки пересекутся, наши уравнения движения изменятся, потому что изменится количество вещества, действующего на оболочку. Мы покажем это следующим образом. К счастью, такая проблема не возникает. Закон Хаббла гласит, что любые две частицы удаляются друг от друга с относительной скоростью, пропорциональной их расстоянию. Изначально все оболочки удаляются друг от друга согласно закону Хаббла. Если оболочки начнут пересекаться, они точно не будут этого делать сразу. Это справедливо и для любых двух оболочек. Все оболочки изначально отдаляются друг от друга. Не существует двух оболочек, которые изначально приближаются друг к другу.

Однако, мы можем записать уравнения, которые будут выполняться, по крайней мере, до тех пор, пока не появятся пересечения оболочек. Эта ситуация может поменяться из-за действующих сил. Поэтому уравнения должны показать, что оболочки будут пересекаться. Если оболочки будут пересекаться, эти уравнения должны быть справедливы вплоть до времени пересечения оболочек. Мы увидим, что согласно нашим уравнениям, не будет никаких пересечений оболочек. Оболочки не могут начать пересекаться вопреки уравнениям движения.

Пока нет пересечений оболочек, общая масса внутри любой оболочки не зависит от времени. Итак, мы запишем уравнения, которые будут справедливы до тех пор, пока не будет пересечений оболочек. Таким образом, на оболочку с начальным радиусом $r_i$, действует сила, создаваемая массой внутри оболочки. Это просто другие оболочки, находящиеся внутри. Масса внутри оболочки с начальным радиусом $r_i$ равна начальному объему оболочки умноженному на начальную плотность массы, $ρ_i$ Мы можем записать формулу для массы внутри оболочки.

$M(r_i) = \frac {4π}3{r_i}^3ρ_i$

Закон Ньютона утверждает, что ускорение направлено в противоположенную сторону от единичного радиус-вектора до частицы и равно постоянной Ньютона, умноженной на массу внутри сферы, деленной на квадрат расстояния оболочки от начала координат. Составляем дифференциальное уравнение
Закон Ньютона определяет ускорение произвольной частицы в нашей системе. Это радиус оболочки в конкретный момент времени. Именно это расстояние равно функции $r(r_i,t)$.

$\vec g=-\frac {GM(r_i)}{r^2(r_i,t)}\hat r$

Это справедливо для любой оболочки, обозначаемой переменной $r_i$.

Все остальное следует из него. Это действительно важное уравнение. Ускорение определяется только массой оболочек меньших радиусов. Оно отражает теорему Ньютона, что если масса распределена сферически симметрично, то масса любой оболочки большего радиуса, чем расстояние до частицы, не дает вклада в ускорение данной частицы.

Все, что нам нужно — это выяснить как $r$ меняется со временем. Мы знаем, что все движения происходят вдоль радиусов. Мы можем записать это в виде обычного дифференциальное уравнения для $r$, без всяких векторов.

$\ddot r=-\frac{4π}3 \frac {Gr^3_iρ_i}{r^2}$

Мы подставили $M(r_i)$ из предыдущей формулы. $\ddot r$ — это ускорение. Я больше не буду это указывать. $r$ – это функция от $r_i$ и $t$.

Представим, что мы решаем задачу для конкретной оболочки. При расширении системы $r_i$ является просто константой, различной для каждой оболочки, но постоянной во времени. Она равна плотности в начальный момент времени и сохраняет свое значение. $ρ_i$ – это тоже константа.

Это дифференциальное уравнение второго порядка для $r$. Мы получили дифференциальное уравнение, в котором во времени меняется только $r$, и больше ничего.

Начальные условия

Есть одна вещь, которую вы все должны помнить, работая с дифференциальными уравнениями второго порядка. Для того, чтобы иметь единственное решение, нам нужны начальные условия. Если это уравнение второго порядка, а такими обычно получаются уравнения Ньютона, мы должны указать начальное положение и начальную скорость, чтобы уравнение второго порядка дало уникальный ответ.

У нас получится система, которую мы можем отдать математику. Мы зададим начальное значение положения $r$ и начальное значение скорости $\dot r$ частицы. Если математик достаточно умен, он сможет ее решить.

Очевидно, оно просто равно $r_i$. Итак, мы хотим задать начальное значение $r$, начальное означает в момент времени $t_i$.

$r(r_i,t_i)=r_i$

Начальное опять означает во время $t_i$. Если мы хотим иметь единственное решение для этого уравнения, то нам также нужно задать начальное значение скорости $\dot r$. Каждая начальная скорость частицы равна начальному значению постоянной Хаббла умноженной на радиус. Оно определяется постоянной Хаббла.

$\dot r=H_ir_i$

У нас получилась чисто математическая система. Это Хаббловское расширение, которое мы изначально ввели в систему. Оно дает уникальное решение. У нас имеется дифференциальное уравнение второго порядка и начальные условия для $r$ и $\dot r$. Больше не нужно никакой физики, по крайней мере на данном этапе. Это чистая математика.

Сохранение однородности

Можно заметить интересные математические особенности этой системы уравнений. Мы увидим, что данные уравнения чудесным образом сохраняют однородность нашей системы. Это встроено в уравнения. Ключевая особенность этих уравнений заключается в том, что можно избавиться от $r_i$ при помощи замены переменных.

Я произвольно выбрал букву для обозначения, можно взять какую угодно. Давайте определим новую функцию $u$.

$u(r_i,t) = \frac {r(r_i,t)}{r_i}$

Для любой функции, $r(r_i,t)$ всегда можно определить новую функцию, которая равна изначальной функции, деленной на $r_i$.

Я утверждаю, что $r_i$ исчезнет. Теперь давайте посмотрим, что произойдет с нашими уравнениями. Давайте посмотрим, как это произойдет:

$$display$$\ddot u = \frac {\ddot r}{r_i} = -\frac {4π}3 \frac {Gr^3_iρ_i}{r_ir^2} = -\frac {4π}3 \frac {Gr^3_iρ_i}{u^2r^3_i} = -\frac {4π}3 \frac {Gρ_i}{u^2} $$display$$

$r_i$ в кубе в числителе пропорционален объему сферы. Из уравнения видно, за счет чего происходит сокращение $r_i$. Один $r_i$ появился за счет замены переменных, еще $r^2_i$ появился из-за закона обратных квадратов. В знаменателе $r_i$ стоит также в кубе.

Если бы сила убывала по другому закону, если бы она всего немного отличалась от $1/r^2$, тогда $r_i$ не сокращалось бы в формуле. Таким образом, сокращение $r_i$ появляется, если сила убывает как $1/r^2$. Если, согласно Ньютону, сила убывает, как $1/r^2$ в квадрате, то система остается однородной. Именно сокращение $r_i$ имеет решающее значение для обеспечения однородности при эволюции системы. Это очень интересный факт. В противном случае, нет.

Теперь мы получаем простое уравнение для $\ddot u$, больше без $r_i$ в уравнении. Итак, $r_i$ у нас сократилось. У нас больше нет разных решений для разных значений $r_i$. Это означает, что $u$ дает решение для любого $r_i$. У нас есть единственное решение, независимое от $r_i$. $r_i$ исчезает из задачи. Оно справедливо для всех $r_i$.

Начальные условия. Что я забыл упомянуть? У нас не будет единого решения, если мы не проверим начальные условия, которые также не должны зависеть от $r_i$. Чтобы получить единое решение, у нас должно быть не только дифференциальное уравнение, независимое от $r_i$. И они не зависят.

Но начальное значение $r$ равно $r_i$. Начальное значение $u(r_i, t_i)$ равно начальному значению $r$ деленному на $r_i$. Для любого $r_i$ мы получаем:

$u(r_i,t_i)=\frac {r_i}{r_i}=1$

Оно равно Теперь рассмотрим начальное значение $\dot u$.

$\dot u(r_i,t_i)=\frac {\dot r}{r_i}=\frac {H_ir_i}{r_i}=H_i$

Интерпретация переменных

Если посмотреть внимательнее, то можно понять физическую интерпретацию величины $u$. $u$ является не чем иным, как масштабным фактором, о котором мы говорили ранее.

Изначально у нас было однородное расширение, но мы не знали, пока не рассмотрели уравнение движения, будет ли вселенная продолжать расширяться однородно. Мы доказали, что у нас получилась однородно расширяющаяся система. Это значит, что расширение можно описать при помощи масштабного фактора. Однако это так.

Таким образом, $u$ не зависит от $r_i$ и может рассматриваться как просто функция от времени $t$. Мы выяснили, что $u$ полностью определяется уравнениями, в которых нет $r_i$. Мы также можем изменить его название на $a(t)$, чтобы установить идентичность с масштабным фактором:

$u(r_i,t)=u(t) \equiv a(t)$

Также видно, что

$r(r_i,t)=u(t)r_i=a(t)r_i$

$r_i$ является сопутствующей координатой. Что это означает? По мере расширения, для каждой оболочки метка $r_i$ сохраняется. Мы пометили каждую оболочку согласно ее начальной позиции, $r_i$. А $r$ — это физическое расстояние, в данном случае от начала координат, равное масштабному фактору, умноженному на сопутствующее расстояние. Она помечает частицы независимо от того, куда они перемещаются.

Предыдущее дифференциальное уравнение использовало $ρ_i$. Эти уравнения полезно написать в другом виде. Она не меняется со временем. Это очень удобно, потому что $ρ_i$ является константой. Это не трудно сделать, потому что мы знаем, какова плотность в любой момент времени. Тем не менее, полезно также написать дифференциальное уравнение с использованием значения $ρ$, которое меняется со временем, чтобы видеть отношения между физическими величинами в данный момент времени.

Мы знаем, что плотность остается однородной, поскольку у нас все расстояния просто пропорциональны общему масштабному фактору. Для любой оболочки мы можем рассчитать плотность как общую массу внутри оболочки, деленную на объем. Поэтому плотность будет однородной.

Мы можем вычислить плотность внутри оболочки, взяв $M(r_i)$, для которой у нас уже есть формула, и которая не зависит от времени, и разделив ее на объем внутри оболочки.

$$display$$ρ(t)=\frac {M(r_I)}{\frac {4π}3r^3}=\frac {\frac{4π}3r^3_iρ_i}{\frac {4π}3a^3r^3_i}=\frac {ρ_i}{a^3}$$display$$

Плотность равна первоначальной плотности, деленной на куб масштабного фактора. Это ожидаемый результат. Таким образом, в уравнении получается отношение масштабных факторов в кубе. Масштабный фактор равен 1 в начальный момент времени, согласно нашим определениям. По мере расширения вселенной плотность падает обратно пропорционально масштабному фактору в кубе.

Теперь мы можем переписать уравнение для $\ddot a$, используя текущую плотность массы.

$$display$$\ddot a= \frac {4π}3 \frac {Gρ_i}{a^2} = \frac {4π}3 \frac {Gρ_i}{a^2} \frac aa = \frac {4π}3Gρ(t)a$$display$$

Заметьте, что оно действительно зависит только от плотности массы. Это уравнение дает замедление нашей модельной вселенной в зависимости от текущей плотности массы. Так и должно быть, потому что вспомним, что $a$ измеряется в делениях на метр. Оно определяет отношение $\ddot a/a$. Мы получаем ответ в физических единицах. При этом деления сокращаются.

$R_{max,i}$ не появляется ни в одном из этих уравнений. Я сказал в начале, что, когда мы закончим, мы возьмем предел, когда начальный максимальный радиус $R_{max,i}$ стремится к бесконечности. Это означает, что ответ, который мы получили, не зависит от того, насколько велик шар, если все, что мы рассматриваем, находится внутри шара. Поэтому, при стремлении $R_{max,i}$ к бесконечности, на самом деле не ничего не происходит. Таким образом, в пределе, мы добавляем бесконечное количество вещества снаружи. Добавление дополнительного вещества снаружи ничего не меняет. Чтобы перейти к пределу $R_{max,i}$ стремящемся к бесконечности, не нужно ничего делать.

Сегодня я хочу сделать еще один шаг в этом направлении, переписав уравнение немного по-другому, что поможет нам выяснить, как выглядят решения. В конечном счете мы хотим получить различные решения этого уравнения и понять, как они выглядят. Я хочу найти первый интеграл этого уравнения.

Первый интеграл и закон сохранения энергии

Чтобы найти первый интеграл, я хочу вернуться к уравнению, где используется $ρ_i$, а не $ρ(t)$. Его преимущество заключается в том, что $ρ_i$ не зависит от времени. У $ρ$ имеется своя зависимость от времени, которую я не хочу сейчас учитывать. Поэтому, если я использую формулу в которой используется $ρ_i$, зависимость от времени будет только у масштабного фактора.

Я также перенесу все члены в одну сторону. Я использую предыдущее уравнение, но я заменю $u$ на $a$, потому что мы переименовали $u$ в $a$. Получается

$\ddot a +\frac {4π}3 \frac {Gρ_i}{a^2} =0$

Это дифференциальное уравнение второго порядка, которые очень часто встречаются в Ньютоновской механике, это уравнение определяет $\ddot a$, ускорение $a$, через значения $a$.

В данном случае я не знаю, стоит ли называть это сохранением энергии. В Ньютоновской механике часто можно использовать закон сохранения энергии. Но, конечно, в качестве математического приема, мы можем использовать тот же метод, который используется в Ньютоновской механике для получения закона сохранения энергии. Позже мы поговорим о том, какой физический смысл имеет полученный нами результат.

После этого все выражение станет полной производной. Чтобы получить закон сохранения энергии, соответствующий этому уравнению, мы умножим уравнение на интегрирующий множитель, $\dot a$. Это уравнение эквивалентно

$\frac {dE}{dt}=0, \:\:\:где \;E=\frac 12 \dot a^2 - \frac {4π}3 \frac {G ρ_i}a$

Если я продифференцирую $E$, я получаю именно это уравнение. Это можно легко проверить. Таким образом, $E$ является сохраняющейся величиной. Так что они эквивалентны.

Один из способов – это умножить $E$ на $mr^2_i$ и считать это энергией тестовой частицы на поверхности сферы. Теперь, если мы хотим связать $E$ с какой-либо энергией, имеются различные способы это сделать. $r_i$ – начальный радиус тестовый частицы. $m$ — это масса тестовой частицы.

Таким образом $E_{phis}$, или физическая энергия гипотетической тестовой частицы будет равна

$E_{phys}=mr^2_iE=\frac 12 m(\dot a r_i)^2-\frac{GmM(r_i)}{ar_i} = \frac 12 mv^2-\frac{GmM(r_i)}r $

Получается кинетическая энергия плюс потенциальная энергия — где потенциальная энергия отрицательна — точечной частицы на границе сферы. Если мы считаем, что для тестовой частицы $r_i$ — это $R_{max,i}$, то есть мы говорим о границе нашей сферы, тогда понятно, что здесь сохраняется.

Если частица находится внутри сферы, если $r_i$ не равно максимальному радиусу сферы, то $E_{phis}$, на самом деле, не является потенциальной энергией частицы. Если мы хотим применить это уравнение к частице внутри сферы, будет немного сложнее подобрать правильную интерпретацию.

При этом учитывается вклад массы, находящейся внутри сферы на которой находится частица, которая определяет силу в этой точке. Для вычисления потенциальной энергией частицы нужно вычислить какую работу придется совершить, чтобы взять частицу на бесконечности и поместить ее на свое место. Но у нас также имеется вклад от вещества, находящегося за пределами сферы с частицей.

Я получу гораздо более сложное выражение. При вычислении потенциальной энергии я не получаю просто $Gm$ умноженное на массу внутри сферы, деленную на расстояние от центра. Почему она не сохраняется? На самом деле, энергия, которую я получу, не сохраняется.

Энергия точечной частицы, движущейся в поле статических масс, сохраняется. Она не сохраняется, потому в присутствии движущихся масс нет причин для ее сохранения. Если другие частицы движутся, то сохраняется общая энергия всей системы. Это то, что вы знаете из соответствующих курсов. Но потенциальная энергия конкретной частицы, движущейся в гравитационном поле других частиц, может не сохранятся.

Она будет связана с $E$ другой константой пропорциональности и будет сохранятся по очевидной причине. Кроме энергии частицы на границе также сохраняется полная энергия системы. Здесь нужно быть внимательным, чтобы понять, что именно сохраняется, почему и как это использовать.


Оставить комментарий

Ваш email нигде не будет показан
Обязательные для заполнения поля помечены *

*

x

Ещё Hi-Tech Интересное!

Наш путь к централизованному хранению логов

Приветствую всех! Я работаю системным инженером в компании «Онланта». На одном из наших проектов я занимался внедрением и сопровождением Elastic Stack. Мы прошли путь от сбора логов фактически вручную до централизованного, автоматизированного процесса. Вот уже два года мы практически не ...

Java Script != JavaScript. Пять джав в одном классе. Скриптуем так, чтобы запомнили навсегда

На этой неделе у JUG.ru Group, скорее всего, выйдет анонс. Пока не скажу чего. Участие в тайных проектах будит креатив, поэтому вот вам очередной ночной видосик про джаву. Чуть менее чем полностью он состоит из скринкаста. Невероятные новости: теперь он ...