Хабрахабр

Проектируем космическую ракету с нуля. Часть 1 — Задача двух тел

Привет всем! Сегодня я начну серию статей-лекций посвященных теме проектирования беспилотных летательных аппаратов космического назначения (ракет) =). Да-да, — вы не ослышались, самых настоящих ракет, будем их учиться проектировать по настоящему, как это (наверное) делают в каком нибудь КБ . Сам я заканчивал универ именно по этой специальности, потому некоторые знания имеются. Но сам еще ни дня в КБ (к сожалению) не проработал. По причине соответственного расположения звезд на небосводе. В общем звезды так сошлись, судьба такая у меня. Хотя мог бы уже пол года работать в КБ Южном, зимой почти устроился, осталось лишь медкомиссию пройти и сдать документы на проверку в СБУ для получения допуска секретности. Но пошло опять что то не так. До этого уже шло очень много раз, потому наверное что то накопленное выстрелило, и я решил: в пе*ду да ну его.

Ну попытка не пытка, а я действительно просто хотел поехать чем нибудь помочь, и никакой я не спецагент. А, кстати, месяц назад послал резюме в SpaceX на mechanical engineer, но мне через два дня вежливо отказали, потому что закон ITAR. (просто чем то нужно было заполнить начало, думал-думал — написал как есть).
Ну да ладно, начну пожалуй по теме, а то развел тут историю своей жизни излагать.

Введение

Хотя моя специальность больше направлена на проектирование ракет класса «воздух-воздух», «воздух-земля», «земля-воздух», которые летают не так уж далеко (несколько десятков километров) и не так долго (меньше минуты), и «полезный груз» у них не такой уж и полезный. Особенно когда сбивают гражданские самолеты по ошибке и люди гибнут ни в чем не виноватые. Ладно технику у друг друга уничтожайте, это такое — на взрывы и разрушения приятно смотреть. Но законы Бога «возлюби ближнего своего как самого себя» нарушать — неправильно.

Тем более пол года или целый год, на пятом курсе проходили мимо «проектирование аппаратов предназначенных для освоения космоса». Так вот, хотя специализация моя не для космических масштабов, но, думаю, мы справимся. А в плане конструкции ракеты там даже проще, ведь им не нужно испытывать такие бешеные перегрузки в 10-20 единиц в продольном и поперечном направлении одновременно. И на самом деле новое для нас там было только орбитальная механика. Управление то только отклонением двигателей. И аэродинамика там почти неважна. Ничего страшного, мы попробуем спроектировать космическую ракету полностью на РДТТ. Ну двигатели там, правда, сложнее — ЖРД. Может быть получится, может и нет, это считать надо, так сразу не скажешь. РДТТ проектировать просто, пусть у твёрдого топлива и энергоемкость в два раза ниже — не страшно. Примерно так, поехали. По ходу разберемся.

Орбитальная механика

Летим мы в космос. Как летим, куда летим, когда, зачем. На эти вопросы нам даст ответы орбитальная механика. Потому первым делом разберемся с этой штуковиной. Благо, она несложна (по крайней мере на первый взгляд). Всего то — 1, 2, 3 законы Ньютона и закон всемирного тяготения Сэра Исаака. Звезды и планеты рассматривают как материальные точки, что оправдано гигантскими расстояниями между ними по сравнению с самими их размерами.

Для примера, вот картинка в масштабе: Солнца и ближайшей к нему планеты Меркурия:

(Черный пиксель — это Меркурий, синяя линия — траектория его движения) image
Относительные размеры Солнца, Меркурия и расстояния между ними строго соблюдены.

А вот в масштабе вся Солнечная система:

image
А здесь уже и Солнце выглядит точкой, планеты и подавно.

И для полного счастья красивая картинка и Вики с относительными размерами небесных светил:

image
Планеты Солнечной системы

Второй гласит, что сила $F$, приложенная к телу массой $m$ вызывает ускорение $a$ этого самого тела в направлении силы, и притом равна произведению массы на ускорение:
Вспомним законы Ньютона.

$ F = ma, $

Первый закон гласит, что если на тело не действуют силы $F=0$, то тело движется с постоянной скоростью. Или вообще не движется = движется с постоянной скоростью равной нулю:

$ ma = 0, $

$" data-tex="display"/> <img src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/398/802/6a8/3988026a8e734eca05a367fa1efe6997.svg" alt="$ m \neq 0, a = 0 \Rightarrow \dot=0 \Rightarrow v=const.

И Третий закон объясняет как взаимодействуют два тела: первое тело действует на второе с такой же силой как и второе на первое:

$ F_{12} = -F_{21}, $

силы равны по модулю, но направлены противоположно.

Закон всемирного тяготения выглядит так:

$ F_{12} = G\dfrac{m_{1}m_{2}}{R^{2}}, $

здесь $G = 6,67408(31)\cdot10^{-11} \text{м}^{3}/(\text{кг}\cdot \text{с}^{2}) $ — гравитационная постоянная,
$m_{1}, m_{2}$ — массы первого и второго тела, $R$ — расстояние между телами.

А направлена сила от тела, на которое действует, к телу девочки с каре, с которым происходит взаимодействие.

image
Гравитация

Для первого тела:
Теперь для двух взаимодействующих материальных точек можно записать, на основании выше записанных законов.

$ m_{1}\ddot{\vec{r}}_{1} = \vec{F}_{12} = F_{12}\vec{\tau} = G\dfrac{m_{1}m_{2}}{R^{2}}\vec{\tau}, {(1)}$

здесь $\vec{\tau} = \dfrac{\vec{r}_{12}}{r_{12}}$ — единичный вектор, направленный от первого тела в сторону второго. А $\vec{r}_{12} = \vec{r}_{2} - \vec{r}_{1}$ — из картинки видно. И $r_{12} = |\vec{r}_{12}| = R $ — расстояние между телами.
Перепишем 1:

$" data-tex="display"/> <img src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/20e/8b2/754/20e8b2754f9f3625e697604bd3afbf7f.svg" alt="$ m_{1}\ddot{\vec{r}}_{1} = G\dfrac{m_{1}m_{2}}{r_{12}^{2}}\dfrac{\vec{r}_{12}}{r_{12}} = G\dfrac{m_{1}m_{2}}{r_{12}^{3}}\vec{r}_{12}.

Для второго тела всё будет аналогично, но плюс еще по третьему закону Ньютона ($\vec{F}_{21} = -\vec{F}_{12}$):

$ m_{2}\ddot{\vec{r}}_{2} = \vec{F}_{21} = -\vec{F}_{12},$

$" data-tex="display"/> <img src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/f5f/3ea/8e8/f5f3ea8e81a68c42325776c7239e01a1.svg" alt="$ m_{2}\ddot{\vec{r}}_{2} = -G\dfrac{m_{1}m_{2}}{r_{12}^{3}}\vec{r}_{12}.

Итого для системы из двух материальных точке имеем систему дифференциальных уравнений, записанную в векторном виде:
\begin{equation*}
\begin{cases}
m_{1}\ddot{\vec{r}}_{1} = \vec{F}_{12},
\\
m_{2}\ddot{\vec{r}}_{2} = -\vec{F}_{12}
\end{cases}
\end{equation*}
Ну что сказать, для системы из двух тел красиво получается, даже уже хочется сразу сложить эти равенства или вычесть.

Вместо двух векторных равенств будет N штук. Для системы же из многих N материальных точек всё будет тоже самое, но учитывать взаимодействие придется каждый с каждым. Если пойти дальше и рассмотреть «континуум» точек, то есть сплошное тело — суммарная сила получится интегрированием по области, занимаемым телом. И у каждого справа будет сумма сил. Упрощается эта процедура использованием так называемого «потенциала» силы, потому что наша сила — потенциальна, имеет потенциал, но об этом в дальнейшем поговорим, и, возможно, получим поле вокруг сферического тела. Всё как обычно: рассматривается бесконечна малая часть тела dV и суммируется-интегрируется. То что они почти сферические, и как это учитывается — тоже в дальнейшем поговорим. Потому что сферические тела — распространенная вещь в космосе.

Во первых она примечательна тем, что эта первая по сложности задача после системы из одного тела. А сейчас вернемся к системе из двух тел. А с другой стороны, как окажется,
этой моделью можно описать $90 \%$ космического движа =) (но это неточно). И математически исследовать эту задачу стоит в первую очередь уже из-за этого факта.

Сейчас оценим это для системы Земля-Марс-Солнце. Ну, например, планеты двигаются вокруг Солнца очень даже почти независимо друг от друга. Хорошо что живем в такое время, когда достаточно в интернет отправить запрос правильный, и тебе выдает всю необходимую информацию:

масса Земли $M_{\oplus} = 5,9736⋅10^{24}$ кг

масса Солнца относительно Земли $M_{\odot} = 332940M_{\oplus}$

масса Марса относительно Земли $M_{\mars} = 0,107M_{\oplus} = \dfrac{M_{\oplus}}{10}$

расстояние Земли от Солнца $R_{\text{С}-\text{З}} = 149 600 000 \text{ км} = 1496 \cdot10^{8}\text{ м} $

расстояние Марса от Солнца $ R_{\text{С}-\text{М}} = 227 900 000 \text{ км} = 2279 \cdot10^{8}\text{ м} $

Теперь то вычислить силы действующие на Землю со стороны центрального Светила и куска сферического материала, названного в честь древнеримского бога войны (сорри за поэзию, что то нашло на меня), проще простого:

$ F_{\text{С}-\text{З}} = G\dfrac{M_{\oplus}M_{\odot}}{R_{\text{С}-\text{З}}^{2}} = G\dfrac{M_{\oplus}^{2}332940}{R_{\text{С}-\text{З}}^{2}} $

$ F_{\text{M}-\text{З}} = G\dfrac{M_{\oplus}M_{\mars}}{R_{\text{M}-\text{З}}^{2}} = G\dfrac{M_{\oplus}^{2}}{10R_{\text{M}-\text{З}}^{2}} $

image
Солнце, Земля и Марс

а точнее нам не нужны даже значения этих сил, только их отношение:

$ \dfrac{F_{\text{С}-\text{З}}}{F_{\text{M}-\text{З}}} = G\dfrac{M_{\oplus}^{2}332940}{R_{\text{С}-\text{З}}^{2}} \cdot \dfrac{10R_{\text{M}-\text{З}}^{2}}{G M_{\oplus}^{2}} = 3329400 \left( \dfrac{R_{\text{M}-\text{З}}}{R_{\text{С}-\text{З}}} \right)^{2} = 3329400 \left( \dfrac{R_{\text{C}-\text{М}} - R_{\text{С}-\text{З}} }{R_{\text{С}-\text{З}}} \right)^{2}, $

$\dfrac{F_{\text{С}-\text{З}}}{F_{\text{M}-\text{З}}} = 3329400 \left( \dfrac{R_{\text{C}-\text{М}} }{R_{\text{С}-\text{З}}} - 1 \right)^{2} = 3329400 \left( \dfrac{2279}{1496} - 1 \right)^{2} = $

5234^{2} = 912 066. $=3329400 \cdot 0. 1$

Практически в миллион раз сильнее Солнце притягивает Землю, чем Марс в лучшие свои годы. Ого. При другом расположении Марс будет притягивать еще хуже. В смысле когда Марс-Земля-Солнце расположены на одной прямой. Ну даже не знаю какую аналогию привести, может быть это как отношение сил веса одной монетки против Тираннозавра.

Я попарно не проверял, но думаю это так. Так же дела обстоят и со всем остальным небесным воинством Солнечной системы: Солнце влияет на каждую особь, в то время как они друг на дружку почти не влияют. Наверное, это есть следствие в том числе и того, что масса солнечной системы равна:

$1,0014M_{\odot} = M_{\odot} + 0,0014M_{\odot},$

то есть вся масса сосредоточена в Солнце, а $0.14\%$ солнечной массы — планеты, кометы, газ и всякий мусор.

Здесь аналогично, Земля имеет колоссальную массу по сравнению со спутником. Вторым примером, где нам поможет модель из двух тел — движение искусственного спутника вблизи Земли. На спутник действуют силы: И даже можно привести еще один наглядный пример вычислений системы Земля-спутник-Луна.

$ F_{\text{Сп}-\text{З}} = G\dfrac{M_{\oplus}M_{\text{Сп}}}{R^{2}},$

$ F_{\text{Сп}-\text{Л}} = G\dfrac{M_{\leftmoon}M_{\text{Сп}}}{R^{2}} = G\dfrac{M_{\oplus}M_{\text{Сп}}}{81R^{2}}, $

просто масса Земли в 81 раз больше массы Луны. А расстояние здесь мы взяли пополам, то бишь середина между Землей и Луной. И наконец отношение этих сил:

$ \dfrac{F_{\text{Сп}-\text{З}}}{F_{\text{Сп}-\text{Л}}} = 81 $

Вывод: даже когда спутник будет летать ровно между Землей и Луной, а это орбита 192 200 км, Земля всё равно будет притягивать наш искусственный спутник в 81 раз сильнее Луны. Для сравнения изобразим это двумя векторами сил рядом расположенными, длинны которых будут отличатся в 100 раз. Здесь мы просто округлили по инженерному, потому что для инженера — 80 это то же самое что и 100. Это типа известного инженерного равенства, кто не в курсе: $\pi = e = 2. $
image
Сравнение сил действия на спутник со стороны Земли и Луны

В следующей статье решим аналитически задачу двух тел.
Продолжение будет…

Теги
Показать больше

Похожие статьи

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Кнопка «Наверх»
Закрыть