Главная » Хабрахабр » Проблемы современной записи математических текстов

Проблемы современной записи математических текстов

В недавней статье товарищ KvanTTTподнял вопрос:

Можете пояснить что вам не нравится в современной записи (математических положений и) формул и как ее можно улучшить?

Я постарался ответить в одном комментарии, но размер текстового поля не позволил закончить выкладки. Данная статья — чрезмерно развернутый ответ.

Местами слишком эмоциональный. Сразу скажу, материал холиварный. Слишком личный — часто основан на собственном опыте, небогатом, хоть и разнообразном. Очень спорный. Решения у проблемы в текущих реалиях нет. Пост касается школьных и университетских текстов учебников: у «профессиональной» литературы своя специфика, своя аудитория. При этом, часть «моих» наблюдений задолго до меня высказывали такие авторитеты, как Кнут и Хэмминг; чуть менее популярные ребята даже запилили инструкцию "Как читать математику".

Причем, к подаче материала на практически всех уровнях образования, начиная со школы, и заканчивая передовой наукой. Итак, на мой взгляд, основные претензии не столько к записи формул, сколько к подаче материала. Царскую дорогу не проложили до сих пор. Начало текущей ситуации положил Евклид, заявивший про отсутствие царской дороги в математике. Еще один подарок от Евклида: «Дай вопрошающему грош, если он ищет выгоды, а не математики». Евклид обходился, и мы сможем.
Первая проблема — значимость не показана. Пример: учебник по математическому анализу от Фихтенгольца. Авторы начинают вводить определения, доказывать теоремы и творить прочую математику без объяснения зачем оно вообще нужно. Какие потребности, какой математики, чем не устраивают рациональные — да пес его знает. Почитайте первую главу: «из школьного курса вы знаете про рациональные числа, но потребности математики понуждают нас ввести вещественные...» и понеслась. «Очевидно».

«Постоянное число a называется пределом варианты $x=x_n$ если для каждого положительного $\varepsilon$ сколько бы мало оно ни было, существует такой номер N, что все значения $x_n$, у которых номер n>N, удовлетворяет равенству $|x_n - a | < \varepsilon$.» Или другой пример из того же учебника.

Еще больше студентов даже к концу обучения не осознает, зачем им было нужно понятие предела последовательности. Большинство студентов не понимает определения выше, но через полгода привыкает к нему. Ну да, сейчас мне понятно, что пределы нужны, например, для корректного описания верхних/нижних сумм при введении интегралов, но до интегралов еще два семестра! Аналогично для функций, интегралов, рядов… Фихтенгольц описывает какие-то математические объекты, иногда дает частные примеры — и все.

Ребята, вы это серьезно? Или определитель, определяемый как кососимметрическая полилинейная функция. Выгода какая с этого определения? Единственный адекватный ответ студента-первокурсника на такой определение «и что»? Не спорю, выгода есть, но всякий ли первокурсник может её осознать?

Проявляется на всякого рода конференциях. Ложное решение проблемы: история вопроса. В чем суть проблемы, почему её решал первоначальный автор, почему так важно убивать на неё профессоро-часы — опускается. «Проблему поставил Иаков, исследовал его ученик Авель, и ученик ученика Каин, и сто-пятьсот воплощений Вишны».

Следующая проблема — авторы не ставят реальных проблем

В принципе, схожа с предыдущей. Вспомните курс теории вероятностей. Какие там преобладают задачи? «В корзине лежат 25 черных и 10 белых шаров...». Казиношные примеры, карточные, D&D, экономические — не, не слышали. Мы будем использовать максимально политкорректные примеры, хоть теория вероятностей выросла из исследований игры в кости.

Про живые примеры недавно писала Free_Mic_RS

Я преподавала статистику и фин.анализ...

Это было довольно сложно — видеть 30-90 пар пустых глаз. Я преподавала статистику и фин.анализ у относительно гуманитарных ребят. Но, конечно, сообразительные ребятки были, и вот однажды я услышала, как один парень объяснял что-то сокурсникам: «Да вы уловите суть! Меня саму начинало мутить от их беспросветного непонимания индексов, показателей и формул. Идёте, а там у первой ноги короткие, у второй короткая стрижка, у третьей пятый размер, у четвёртой — нулевой, у пятой есть парень и т.д. Вы пришли в клуб и думаете, что все девушки там, как Анджелина Джоли. Но в целом это молодые девушки, с которыми можно приятно провести время. И ни одна не Джоли, но из них её собрать можно. В этом суть дисперсии — отклонения кучи циферок от самой главной циферки». И вот то, насколько они далеки от идеала, определяет качество вашей вечеринки. Я взяла опыт на вооружение и уже через неделю у нас был проектор с интересными презентациями и примерами, а аудитория не тупо записывала под бу-бу-бу и стук мела по доске, а искала примеры. Это было прекрасно, живо и весело. Это была лучшая сессия за 2 года.

Математика начинается с задачи. И мертвые, однобокие задачи оставляют впечатление, что теор-вер только с ними и работает. Намерение авторов благое: дать пример, а потом перейти к общему. Абстрагировать от примера. Но несколько «живых» примеров сделали бы переход к абстракции гораздо полезнее. По крайней мере, я свято верю, что обратный процесс (переход от абстрактного к частному) проходил бы гораздо проще.

Проблема: излишняя краткость и непоследовательность

Помните школу? А формулу дискриминанта? А как она доказывается/выводится? Один из способов: чисто алгебраический. Берем уравнение $ax^2 + bx = -c$, «Умножаем каждую часть на $4a$ и прибавляем $b^2$» (почему именно на эти значения?), еще немного трансформаций — и готово. После дискриминанта ученикам дают дискриминант-для-четного-b. А потом формулы Виета. А ещё полные квадраты. И кучу примеров. И далеко не всегда объясняется, зачем нужны все эти методы.

Любые.» И начинается серия примеров с усложнением. А теперь представьте ситуацию, ученику говорят: «сегодня мы научимся решать уравнения с $x^2$.

$x^2 = 4\\ x^ 2 = 9\\ x^2 + 2x + 1 = 1\\ x^2 + 2x + 1 = 4\\ x^2 + 2x + 1 = 9\\ 4x^2 + 4x + 1 = 9\\ 4x^2 + 4x + 5 = 13$

Потом уже можно вводить дискриминант (как простой алгоритм для решения уравнений, когда ученики устанут выделять полные квадраты), и Виет с четным дискриминантом как «ноу-хау». Очень много примеров, которые органично приводят к решению уравнения через полные квадраты.

Увы, не во всех. Схожий подход используется в учебниках. По слухам, некоторые авторы теряли листы черновиков в трамваях, а потом заменяли утерянные куски выражениями вроде «легко показать, что...». И не везде видна четкая последовательность. Сколько людей сорвалось и еще сорвется за 10+6 лет обучения в школе/ВУЗе? В итоге, вместо спокойных прыжков с примера на пример, студенты были вынуждены перепрыгивать через пропасть.

На первом курсе матана я страдал. Личный пример (просили в оригинальном посте). Попросил однокурсника о помощи с вычислением длины кривой через интеграл. Спокойно решая примеры, совершенно не усваивал теорию. Дальше все было просто. Тот взял бутылку пива, нарисовал рандомную кривую, спрямил бесконечно малыми отрезками, выделил один такой отрезок, достроил его до треугольника dl, dx, dy, и спросил: «Теорему Пифагора помнишь»?

Он показал пару контрпримеров, объяснил зачем нужен формализм в матане — и у меня попёрло. Я его спросил: а почему такое не показывают на парах/в учебниках? Я просто читал теорему, выделял главное, писал/решал тривиальные примеры, потом разбирался с формализмом — и реально понимал, о чем идет речь.

Не знаю, сколько и какой теории/практики нужно набрать студенту до «прорыва», с трудом представляю себе, как ставить педагогические эксперименты на эту тему, и сколько труда придется вложить в исследования. Я не знаю, можно ли массово использовать подход общий обзор => контрпримеры => формализм. И спустя все эти годы я стараюсь слушателям сначала дать общую картину, потом показать проблемы, и потом уже погружаться в детали. Но память о том объяснении живет уже 10 лет.

Помимо них у меня есть только аналогичные идеи от Хэмминга:
Вы скажете, мои персональные ощущения могут быть ошибочными.

Посещая встречи, я уже изучал, почему некоторые работы запоминают, а большинство – нет. … я мог изучать, какие методы были эффективны, а какие нет. Как правило, аудитория хочет широкую лекцию общего характера и хочет гораздо больше общего обзора и введений, чем желает дать спикер. Технический человек хочет дать очень ограниченную техническую лекцию. Лектор называет тему и внезапно ныряет в детали. В результате многие лекции неэффективны. Вы должны нарисовать общую картину, чтобы рассказать, почему это важно, и затем медленно развернуть эскиз того, что было сделано. Мало кто может уследить. Да, Мэри дала по-настоящему хорошую лекцию, я понимаю, что она сделала». Тогда большее число людей скажут: «Да, Джо сделал это» или «Мэри сделала то, я действительно вижу, о чём это. Кроме того, многие лекции переполнены информацией… Как правило же, люди дают очень ограниченную, безопасную лекцию; это обычно неэффективно.

Идеи россыпью

Должен заметить, мой опыт в преподавании крайне ограничен. Возможно, вы заметили, что я ограничился школьной программой и матанализом. Увы, это те области, где у меня была возможность соприкоснуть теорию с практикой. Я до сих пор не понимаю сути определителя в алгебре, не осознаю проективную геометрию, и лишь полгода назад начал проникаться матрицами (сразу после практики, ага). Неплохая иллюстрация поговорки «теория без практики мертва».

А что если так? Как мне рассказывали, в НМУ новый концепт всегда вводился с десятком вопросов. Что нужно, чтоб дополнить наш концепт до полугруппы? Слушателям давали поиграть с предметом. А если этот пункт условия не выполнен? Думаю, над опытом НМУ стоит хорошенько задуматься. Привыкнуть.

Так, примеры «на бумажке» никак не помогают осознать RSA. Наверняка в высших разделах математики подход «сначала пример, потом абстракция» не сработает. Зато растущее время работы программы с увеличением длины ключа помогает прочувствовать чисто практические аспекты.

Вроде как, «хардкорщика надо воспитывать смолоду». Есть опасение, что «идеальные/тепличные» школьные учебники приведут к шоку при работе с «вышкой».

Чем больше требуемая база, тем больше вероятность, что что-то из базы студентом недопонято. Довольно сложно разрабатывать курсы, надеясь что студенты уже что-то знают.

После 30 уже можно нагружать их писать учебники, дав в напарники спеца методиста. Говорят, пик формы математиков — 30 лет.

На хабре недавно проскакивала статья про компиляцию TeXa в pdf в процессе CI. Текущие технологии позволяют писать тексты командой, используя git. Уверен, авторский коллектив с хорошим инструментарием может писать гораздо более качественные учебники.

И регламенты. Помимо профессоров, учителей, студентов и школьников в математике есть государства. И сертификации. И требования. Все это влияет на учебники, авторов, преподавателей, и качество подачи материала.

Как можно улучшить подачу материала в математических текстах

В текущих (российских) реалиях — никак. Энтузиасты есть, профессионалы есть, мотивации нет.

Иногда не хватает чисто гуманитарных скиллов, писать книги в университетах не учат. У профессоров математики хватает своих задач, чтобы писать учебники. Учителя математики загружены текучкой. Плюс, профессиональная деформация: «очевидное» для профессора может быть неподъёмно для студентов. И репетиторством. И бумагами. Почти не сталкивался с его представителями, так что говорить нечего. Про государство промолчу. После школы я хотел сдать свои учебники в библиотеку, мне сказали «они старые, нельзя их хранить». Разве что, упомяну политику замену учебников каждые три года. Мотивации писать хорошие учебники такой подход не добавляет.

Надеюсь, конечно, но не жду. Иными словами, от системы образования лично я позитивных подвижек не жду. На одной из математических конференций я получил от одного из участников книгу по компьютерной графике. Что выручает — проблески ИТ и прочей инженерии. Математика была не «чистая», прикладная, но сам факт существования хорошего учебного материала безусловно радует. Автор работал в конторе, разрабатывающей графическое ядро какой-то чертежной системы, и материал был вполне неплох.

Математических текстов от этих ребят ждать не приходится, специфика не та. Еще один подход: преподаватели от компаний, работающие в ВУЗах. Разве что, геймдевщики соберутся написать мануал по теорверу, или графики напишут про алгебру/геометрию необходимую для разработки тех же САПРов (если такие проекты есть — зовите).

Эти ребята могут все, ибо работают за деньги, конкурируют, быстро получают обратную связь. Наконец, есть различные негосударственные образовательные платформы, вроде той же Coursera. Непосредственно текстов они не пишут. Но у них свой недостаток: формат подачи данных иной.

И к чему все придет в будущем?

Самому интересно. Может, всё останется как есть. Может, будет уход от текстов в математике. А может, авторы проникнутся идеей "продукт текст должен быть удобным для клиента читателя", и силами первопроходцев удастся таки переломить традицию. Тогда лет через 30-50-100 у нас появятся учебники, понятные большинству читателей.

Upd1. Вставил фото с вычислением длины участка кривой.

Причина проста: большая часть виденных мною «профессиональных» работ в плане подачи материала не отличается от учебников. Upd2. В комментариях часто упоминают, что текст посвящен проблемам преподавания, а не профессиональной математике. При этом, школьная\университетская литература известна большинству на хабре, а «профессиональная» — процентам.


Оставить комментарий

Ваш email нигде не будет показан
Обязательные для заполнения поля помечены *

*

x

Ещё Hi-Tech Интересное!

Орден куколки

Прошу считать пятничным постом! Это как бы научная фантастика, но правда важный дисклеймер 1. Научная фантастика понятие очень широкое. Этот рассказ-эссе я смею предложить только тем, кто нормально относится к углу . Простите меня, если в вашем представлении научная фантастика ...

Трудоголизм — болезненное состояние, о котором не принято говорить

Тему профессионального выгорания не пинал на Хабре только ленивый. Были истории и о том, как с этим бороться, и рассказы людей, которые лично столкнулись с этой проблемой, и статьи вида «как избежать выгорания». На самом деле тема важная и нужная. ...