Хабрахабр

Принцип наименьшего действия. Часть 1

Такое впечатление, что природа таинственным образом перебирает все возможные пути движения системы и выбирает из них самый лучший. Когда я впервые узнал об этом принципе, у меня возникло ощущение какой-то мистики.

Сегодня я хочу немного рассказать об одном из самых замечательных физических принципов – принципе наименьшего действия.

Предыстория

Со времен Галилея было известно, что тела, на которые не действуют никакие силы, двигаются по прямым линиям, то есть по кратчайшему пути. По прямым линиям распространяются и световые лучи.

На картинке кратчайшим будет зеленый путь, при котором угол падения равен углу отражения. При отражении свет также двигается таким образом, чтобы добраться из одной точки в другую кратчайшим путем. Любой другой путь, например, красный, окажется длиннее.

Это несложно доказать, просто отразив пути лучей на противоположную сторону от зеркала. На картинке они показаны пунктиром.

Видно, что зеленый путь ACB превращается в прямую ACB’. А красный путь превращается в изломанную линию ADB’, которая, конечно длиннее зеленой.

До этого общепринятой была версия Декарта, согласно которой скорость света в веществе должна быть больше, чем в воздухе, чтобы получался правильный закон преломления. В 1662 Пьер Ферма предположил, что скорость света в плотном веществе, например, в стекле, меньше, чем в воздухе. Поэтому он предположил, что все в точности наоборот и доказал удивительную вещь – при таком предположении свет преломляется так, чтобы достичь место назначения за минимальное время. Для Ферма предположение, что свет может двигаться в более плотной среде быстрее, чем в разреженной казалось противоестественным.

На рисунке опять, зеленым цветом показан путь, по которому в действительности двигается световой луч. Путь, отмеченный красным цветом, является кратчайшим, но не самым быстрым, потому что свету приходится больший путь проходить в стекле, а в нем его скорость меньше. Самым быстрым является именно реальный путь прохождения светового луча.

Но что это за усилия, и как их посчитать оставалось загадкой. Все эти факты наводили на мысль, что природа действует каким-то рациональным образом, свет и тела двигаются наиболее оптимально, затрачивая как можно меньше усилий.

Однако сам Мопертюи, так и не смог дать четкого определения чему равно это действие. В 1744 Мопертюи вводит понятие «действия» и формулирует принцип, согласно которому истинная траектория частицы отличается от любой другой тем, что действие для неё является минимальным. Строгая математическая формулировка принципа наименьшего действия была разработана уже другими математиками – Эйлером, Лагранжем, и окончательно была дана Уильямом Гамильтоном:

На математическом языке принцип наименьшего действия формулируется достаточно кратко, однако не для всех читателей может быть понятен смысл используемых обозначений. Я хочу попытаться объяснить этот принцип более наглядно и простыми словами.

Свободное тело

Итак, представьте, что вы сидите в машине в точке $A$ и в момент времени $t_A$ вам дана простая задача: к моменту времени $t_B$ вам нужно доехать на машине до точки $B$.

Топливо для машины дорого стоит и, конечно, вам хочется потратить его как можно меньше. Машина у вас сделана по новейшим супер-технологиям и может разгоняться или тормозить как угодно быстро. Однако, устроена она так, что чем быстрее она едет, тем больше потребляет топлива. Причем потребление топлива пропорционально квадрату скорости. Если вы едете в два раза быстрее, то за тот же промежуток времени потребляете в 4 раза больше топлива. Кроме скорости, на потребление топлива, конечно же влияет и масса автомобиля. Чем тяжелее наш автомобиль, тем больше топлива он потребляет. У нашего автомобиля потребление топлива в каждый момент времени равно $mv^2/2$, т.е. в точности равно кинетической энергии автомобиля.

Ясно, что ехать нужно по прямой. Так как же нужно ехать, чтобы добраться к пункту $B$ к точно назначенному времени и израсходовать топлива как можно меньше? А дальше можно избрать разные тактики. При увеличении проезжаемого расстояния топлива израсходуется точно не меньше. Скорость езды, а значит и потребление топлива в каждый момент времени при этом получится большой, но ведь и время езды сократится. Например, можно быстро приехать в пункт $B$ заранее и просто посидеть, подождать, когда наступит время $t_B$. Или можно ехать равномерно, с одной и той же скоростью, такой, чтобы, не торопясь, точно приехать в момент времени $t_B$. Возможно, общий расход топлива при этом будет не так уж и велик. Как же лучше ехать? Или часть пути проехать быстро, а часть медленнее.

При любом другом варианте топлива израсходуется больше. Оказывается, что самый оптимальный, самый экономный способ езды – это ехать с постоянной скоростью, такой, чтобы оказаться в пункте $B$ в точно назначенное время $t_B$. Причина в том, что потребление топлива возрастает пропорционально квадрату скорости. Можете сами проверить на нескольких примерах. Поэтому при увеличении скорости потребление топлива возрастает быстрее, чем сокращается время езды, и общий расход топлива также возрастает.

Любой другой способ движения приведет к большему общему расходу топлива. Итак, мы выяснили, что если автомобиль в каждый момент времени потребляет топливо пропорционально своей кинетической энергии, то самый экономный способ добраться из точки $A$ в точку $B$ к точно назначенному времени – это ехать равномерно и прямолинейно, точно так, как двигается тело в отсутствие действующих на него сил.

В поле тяжести

Теперь давайте немного усовершенствуем наш автомобиль. Давайте приделаем к нему реактивные двигатели, чтобы он мог свободно летать в любом направлении. В целом конструкция осталась той же, поэтому расход топлива опять остался строго пропорционален кинетической энергии автомобиля. Если теперь дано задание вылететь из точки $A$ в момент времени $t_A$ и прилететь в точку $B$ к моменту времени $t_B$, то наиболее экономичный способ, как и прежде, конечно, будет лететь равномерно и прямолинейно, чтобы оказаться в точке $В$ в точно назначенное время $t_B$. Это опять соответствует свободному движению тела в трехмерном пространстве.

Однако, в последнюю модель автомобиля установили необычный аппарат. Данный аппарат умеет вырабатывать топливо буквально из ничего. Но конструкция такова, что чем выше находится автомобиль, тем больше топлива в каждый момент времени вырабатывает аппарат. Выработка топлива прямо пропорциональна высоте $h$, на которой в данный момент находится автомобиль. Также, чем тяжелее автомобиль, тем более мощный аппарат на нем установлен и тем больше топлива он вырабатывает, и выработка прямо пропорциональна массе автомобиля $m$. Аппарат получился таким, что выработка топлива точно равна $mgh$ (где $g$ – ускорение свободного падения), т.е. потенциальной энергии автомобиля.

Теперь наша задача наиболее экономного движения автомобиля между пунктами $A$ и $B$ становится сложнее. Потребление топлива в каждый момент времени получается равным кинетической энергии минус потенциальной энергии автомобиля (минус потенциальной энергии, потому что установленный аппарат вырабатывает топливо, а не тратит). Оказывается, более оптимально — немного набрать высоты, какое-то время там задержаться, выработав побольше топлива, а затем уже спуститься в точку $B$. Прямолинейное равномерное движение оказывается в данном случае не самым эффективным. Если аккуратно посчитать, то самым экономным способом для автомобиля будет лететь по параболе, точно по такой траектории и с точно такой скоростью, с какой летел бы камень в поле тяжести Земли. При правильной траектории полета общая выработка топлива за счет набора высоты перекроет дополнительные расходы топлива на увеличение длины пути и увеличения скорости.

Здесь стоит сделать разъяснение. Конечно, можно из точки $А$ кинуть камень многими разными способами так, чтобы он попал в точку $B$. Но кидать его нужно так, чтобы он, вылетев из точки $А$ в момент времени $t_A$, попал в точку $B$ точно в момент времени $t_B$. Именно это движение будет самым экономным для нашего автомобиля.

Функция Лагранжа и принцип наименьшего действия

Теперь мы можем перенести эту аналогию на реальные физические тела. Аналог интенсивности потребления топлива для тел называют функцией Лагранжа или Лагранжианом (в честь Лагранжа) и обозначают буквой $L$. Лагранжиан показывает насколько много «топлива» потребляет тело в данный момент времени. Для тела, движущегося в потенциальном поле, Лагранжиан равен его кинетической энергии минус потенциальной энергии.

значение Лагранжиана, накопленное за все время движения, называется «действием». Аналог общего количества израсходованного топлива за все время движения, т.е.

При этом не нужно забывать, что заданы начальное и конечное условия, т.е. Принцип наименьшего действия состоит в том, что тело двигается таким образом, чтобы действие (которое зависит от траектории движения) было минимальным. где тело находится в момент времени $t_A$ и в момент времени $t_B$.

Можно рассматривать совершенно другие ситуации. При этом тело не обязательно должно двигаться в однородном поле тяготения, которое мы рассматривали для нашего автомобиля. действие. Тело может колебаться на резинке, качаться на маятнике или летать вокруг Солнца, во всех этих случаях оно движется так, чтобы минимизировать «общий расход топлива» т.е.

И опять, все тела будут согласованно двигаться так, чтобы действие всей системы при таком движении было минимальным. Если система состоит из нескольких тел, то Лагранжиан такой системы будет равен суммарной кинетической энергии всех тел минус суммарной потенциальной энергии всех тел.

Не все так просто

На самом деле я немного обманул, сказав, что тела всегда двигаются так, чтобы минимизировать действие. Хотя в очень многих случаях это действительно так, можно придумать ситуации, в которых действие явно не минимально.

На некотором отдалении от него поставим упругую стенку. Например, возьмем шарик и поместим его в пустое пространство. При таких заданных условиях шарик может двигаться двумя разными способами. Допустим, мы хотим, чтобы через некоторое время шарик оказался в том же самом месте. Во-вторых, можно его толкнуть по направлению к стенке. Во-первых, он может просто оставаться на месте. Понятно, что можно толкнуть его с такой скоростью, чтобы он вернулся в точно нужное время. Шарик долетит до стенки, отскочит от нее и вернется обратно.

Оба варианта движения шарика возможны, но действие во втором случае получится больше, потому что все это время шарик будет двигаться с ненулевой кинетической энергией.

Об этом мы поговорим в следующий раз. Как же спасти принцип наименьшего действия, чтобы он был справедлив и в таких ситуациях?

Показать больше

Похожие публикации

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Кнопка «Наверх»