Хабрахабр

[Перевод] В квантовых играх не получится рассчитывать на удачу

В этих играх сочетаются квантовая запутанность, бесконечности и невозможность подсчёта вероятности выигрыша. Но если исследователи сумеют раскусить их, они откроют нам глубокие секреты математики.

Их результаты были позднее опубликованы в журнале американской статистической ассоциации, и описывали наилучшие решения, которые может принимать игрок в любой ситуации в игре. В 1950-х четыре военнослужащих армии США, увлекавшихся математикой, использовали примитивные электронные калькуляторы для расчёта оптимальной стратегии игры в блэкджек.

У блэкджека, а также пасьянса, шашек или множества других игр, есть определённый «потолок» по проценту игр, в которые игрок может выиграть – даже если он будет каждый раз играть идеально.
Однако существуют особенно странные игры, в которых в принципе невозможно подсчитать максимальную вероятность выигрыша. Однако такая стратегия, которую любители азартных игр позже окрестят «правилами» [the book], не гарантирует победы игроку. И существование этой возможности зависит от совместимости двух очень разных подходов к физике. Вместо этого математики и специалисты по информатике пытаются определить, можно ли хотя бы дать примерную оценку процента выигрышей для таких игр.

Хотя запутанность – штука сложная, нелокальные игры по своей сути просты. Такие «нелокальные» игры впервые придумал в 1960-м физик Джон Стюарт Белл, пытаясь понять такое странное квантовое явление, как квантовая запутанность. Они выигрывают, если их ответы определённым образом связаны. Есть два игрока, каждому из которых задают простой вопрос. Белл доказал, что если игроки смогут использовать пары запутанных квантовых частиц, они могут улучшить корреляцию ответов и выигрывать игры чаще, чем можно было бы ожидать. К сожалению, друг с другом общаться они не могут, поэтому им приходится догадываться об ответе другого.

Работа Уильяма Слофстры от 2016 года и Андреа Коладанджело и Ялекса Старка от 2018 доказали, что в некоторых нелокальных играх соблюдается закономерность – чем больше пар запутанных частиц есть у игроков, тем лучше они играют. В последние годы исследователи развивали работы Белла, о чём мы уже писали в статье "Простые квантовые игры раскрывают первичную сложность Вселенной". И это взаимоотношение сохраняется в бесконечности, то есть, для наилучшей возможной игры игрокам потребуется бесконечное количество пар частиц (или частицы с бесконечным количеством независимых свойств).

Компьютеры не работают с бесконечными величинами, поэтому если идеальная стратегия требует бесконечного числа запутанных частиц, компьютер не может подсчитать, как часто стратегия оправдывает себя. Одно из следствий этих результатов – невозможно подсчитать вероятность максимального процента выигрыша для некоторых нелокальных игр.

«Нет такого обобщённого алгоритма, чтобы можно было ввести описание игры и получить ответ в виде вероятности максимального процента выигрышей», — сказал Генри Юйэнь, специалист по теоретической информатике из университета Торонто.

Но если мы не знаем точную вероятность максимального процента выигрышей, не можем ли мы подсчитать её хотя бы с какой-то погрешностью?

Как ни странно, их успех зависит от совместимости двух очень разных подходов к физике. Математики активно трудятся над этим вопросом.

Этого можно достичь двумя способами. Вспомним, что игрокам в нелокальной игре нельзя координировать ответы. Пространственная изоляция обеспечивает отсутствие коммуникаций. Первый – физически изолировать их друг от друга, разместив их в разных комнатах или на разных концах Вселенной. Исследователи анализируют эту ситуацию, используя модель "тензорного произведения".

Вместо их разделения можно выдвинуть другое требование: последовательность, в которой два игрока измеряют запутанные частицы и выдают ответ, не может влиять на их ответы. Однако есть и другой способ не дать игрокам сговориться. «Если порядок, в котором они проводят измерения, не имеет значения, то они очевидно не могут общаться друг с другом», — сказал Юйэнь.

Такой подход к нелокальным играм – на основе независимости последовательности, а не пространственного разделения – называется моделью «коммутирующего оператора». Когда в математике порядок действий не влияет на ответ, говорят, что операция коммутативна: a × b = b × a.

Эти модели – два разных подхода к рассуждениям о причинно-следственной независимости физических явлений. Произведение тензоров и коммутирующий оператор используются в физике, в особенности при изучении взаимодействий субатомных частиц в квантовой теории поля. Всё потому, что «пространственная независимость» – идея размытая, а коммутирующее взаимоотношение можно описать чётко. И хотя модель произведения тензоров более интуитивна – мы обычно представляем себе причинно-следственную независимость как пространственное разделение – модель коммутирующего оператора даёт более логичную математическую платформу.

– На математическом уровне не всегда можно разместить две независимые вещи в двух отдельных местах Вселенной». «Для людей, изучающих квантовую теорию поля, понятие пространственного разделения объектов неестественно, — сказал Юйэнь.

И вот, как всё это связано с нелокальными играми.

Используемый ими алгоритм гарантирует, что это вероятность окажется выше некоего порога. Специалисты по информатике могут использовать модель тензорного произведения для подсчёта минимума вероятности максимального процента выигрышей. Этот алгоритм гарантирует, что вероятность не превышает некоторого порога. Сходным образом исследователи могут использовать модель коммутирующего оператора для ограничения вероятности сверху.

Им известно, что нельзя заставить эти пределы соприкоснуться и выдать единственную и точную величину вероятности максимального процента выигрышей – в недавней работе Слофстра, Коладэнджело и Старк доказали, что точную вероятность подсчитать нельзя – но чем ближе они их сведут, тем точнее смогут определить эту вероятность. Имея такие инструменты, исследователи хотят как можно ближе свести эти ограничения вместе, как два поршня.

Однако неясно, будет ли это видимое сближение наблюдаться вечно. И действительно, чем дольше эти алгоритмы работают, тем сильнее сближаются два поршня, выдавая всё более точное приближение к невыразимому среднему значению, которого они никогда не достигнут. Это не постепенное и плавное улучшение значений. «Эти алгоритмы совершенно загадочны. Мы просто не понимаем, как быстро они сближаются», — сказал Юйэнь.

Она предполагает, что верхнее и нижнее ограничение выдавливают среднее значение. Стратегия поршней зиждется на эквивалентности двух моделей. И наоборот, если доказать, что два поршня будут сближаться на сколь угодно малое расстояние, это докажет эквивалентность моделей. Если две этих модели и правда эквивалентны, тогда два поршня действительно будут сближаться на сколь угодно малое расстояние.

Возможно, что они несоизмеримы, и что в итоге окажется, что верхнее ограничение опустится ниже нижнего. Однако возможно, что две этих модели – это не разные способы обозначения одного и того же. К сожалению, точно никому это не известно. Тогда специалисты по информатике потеряют свою лучшую стратегию аппроксимации вероятностей.

За последние пару лет наибольший прогресс выражают два доказательства, которые демонстрируют только лишь сложность всей этой задачи.

В том же году Юйэнь, Видик, Джозеф Фитсимонс и Чжэнфэн Цзи доказали, что в процессе сближения поршней вычислительные ресурсы, необходимые для их дальнейшего сближения, растут экспоненциально. В 2018 году Томас Видик и Ананд Натараджан доказали, что оценивать вероятности максимального процента выигрыша в нелокальной игре по меньшей мере так же сложно, как решать безумно сложные задачи типа задачи коммивояжёра.

Такая ситуация ставит математиков и специалистов по информатике в положение, когда можно убить одним выстрелом трёх зайцев. Ещё один поворот в истории – вопрос эквивалентности моделей является прямой аналогией важной и сложной открытой задачи математики под названием «гипотеза Конна о встраиваемости». Такое достижение заслужит признание во всех связанных с ним областях. Доказав эквивалентность моделей тензорного произведения и коммутирующего оператора, они сразу же получат алгоритм для вычисления вероятностей максимального процента выигрышей и определят истинность гипотезы Конна.

Подходящим будет сказать, что все эти вопросы глубоко запутаны между собой.

Теги
Показать больше

Похожие статьи

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Кнопка «Наверх»
Закрыть