Хабрахабр

[Перевод] В чём важность 196 884 = 196 883 + 1? Как это объяснить на пальцах?

Автор ответа на Quora — Майкл Гриффин, постдок по математике

Но есть гораздо более удивительная история гипотезы о монструозной фантазии (Monstrous Moonshine), смешанной с уравнением Маккея: от виски Jack Daniel’s до чёрных дыр и квантовой гравитации. Сения Шейдвассер дал очень хороший, простой ответ на этот вопрос, рекомендую прочитать эту краткую версию.

Группу можно представить как способ переупорядочить набор объектов, сохраняя определённую структуру. В этой истории часто упоминаются симметрии и математические «группы», поэтому начнём с того, что понимается под группой в математике. Источник изображения Операции в группе должны следовать определённым правилам, например, всегда должна быть возможность отменить операцию, а если вы выполняете одну операцию, а затем другую, то получаете третью операцию в группе.

Четыре варианта поворота и четыре оси симметрии квадрата.

Его можно повернуть тремя способами: на 90° вправо (по часовой стрелке), на 180° и на 90° влево (против часовой стрелки); есть четыре симметрии: по вертикальной, горизонтальной и двум диагональным осям); и есть одна симметрия тождества, когда ничего не изменяется. Если вам нравится представлять фигуры, то простой пример группы — симметрии квадрата. В частности, результат будет таким же, как если бы сразу отразить по диагональной оси из левого верхнего в правый нижний угол. Если повернуть квадрат на 90° вправо, а затем отразить по вертикальной оси, получится другая симметрия. Фактически, мы можем написать таблицу умножения для лучшего понимания структуры группы. Это своего рода таблица умножения для элементов группы. Символ “i” в таблице — это симметрия тождества, когда ничего не изменяется. Я сделал это прямо здесь. “F” — поворот на 180°, а каждая линия является отражением вдоль оси по направлению этой линии. “R” и “L” — вращение 90° направо и налево, соответственно.

Например, если у вас есть два квадрата, то может быть две копии одних и тех же операций симметрии, каждая из которых действует на один квадрат независимо от другого. Некоторые группы могут разбиваться на более мелкие части. Но конечные простые группы немного сложнее классифицировать, чем простые числа. Простые группы нельзя разбить на более мелкие независимые группы, так что они вроде простых чисел в теории групп. Большинство простых групп укладываются в аккуратно организованные семьи. В течение второй половины прошлого века произошёл значительный прогресс в попытках полной классификации всех конечных простых групп. Но не все группы вписываются в какую-то нормальную семью. Например, одна семья содержит все симметрии правильных N-гонов (таких как равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник и т.д.). Их обычно немного сложнее определить, но многие из них можно построить из симметрий решёток в нескольких измерениях. Есть ровно 26 «спорадических» групп, которые являются сиротами. Самая большая из простых спорадических групп — это Монстр.

Но только спустя десятилетие удалось доказать, что эти свойства стабильны, а группа действительно существует. В 1973 году Фишер и Грисс впервые (независимо) нашли доказательства, что очень большая простая группа может существовать, если удовлетворяет определённым свойствам. для Фишера−Грисса). Грисс назвал эту неуловимую гипотетическую группу Дружелюбным Гигантом (Friendly Giant, инициалы F. G. Кстати, этот Конвей играет важную роль в нашей истории, но скорее всего вы слышали о нём раньше. Но Конвей, более известный математик, назвал её Монстром — и такое название закрепилось. Если не припоминаете, сходите почитайте! Это тот самый Конвей, который изобрел игру «Жизнь» и доказал теорему о свободе воли.

Титс рассчитал, что если Монстр существует, то его размер будет таким: В 1975 году два математика, Огг и Титс встретились на конференции в Париже.

2^46 · 3^20 · 5^9 · 7^6 · 11^2 · 13^3 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
≈ 8×10^53

Очень, очень, очень большое. Это очень большое число. Но внимание Огга привлёк не размер, а разложение на простые множители. Это примерное количество атомов в Сатурне и Юпитере вместе взятых.

Если N — положительное целое число, то существует поверхность, назовем её X(N), которая захватывает некоторую важную арифметическую информацию о числе N (если вы помните из школы комплексные числа, то такую поверхность можно получить, «прокатывая» или «складывая» комплексную плоскость при помощи ряда симметрий, в зависимости от числа N). Огг в то время занимался изучением штук под названием модулярные кривые. е. Огг задал примерно такой вопрос: если N — простое число, то в каком случае эта поверхность (или модулярная кривая) будет выглядеть как шар, а не пончик с одним или несколькими ручками (т. Он нашёл, что только если N принадлежит множеству «дырками» в пончике)?

Но между этими двумя расчетами нет совершенно никакой очевидной связи. Это те же самые простые числа, которые используются в вычислении Титса для размера Монстра! Огга настолько ошеломило это очевидное совпадение, что он предложил бутылку виски Jack Daniel's любому, кто сможет это объяснить.

Если записать таблицу умножения атомами водорода, она не поместится в нашей галактике. По понятным причинам составление таблицы умножения не поможет изучить Монстра. Да, звучит как руководство по игре Dungeons & Dragons, и может это не самый плохой способ представить таблицу. Вместо этого математики сумели составить таблицу символов Монстра. В первом столбце перечислены «размеры неприводимых представлений» Монстра. Это своего рода Некрономикон для Монстра; таблица чисел 194×194, дающая математикам некоторое глубокое понимание астрономически огромного Монстра. Вот где появляется уравнение Маккея. Это причудливые слова, но суть нашей истории в том, что первые два значения в первом столбце — это числа 1 и 196 883.

Маккей лихо указал Конвею, что

196884 = 1 + 196883

В этом уравнении 196884 является первым коэффициентом важной функции, называемой J-функцией, которую математики изучают очень давно. Конвей посчитал гипотезу Маккея настолько нелепой, что назвал её фантазией (Moonshine). Здесь мы опять начинаем возвращаться к Оггу и его вопросу на бутылку «Джека Дэниелса».

Трудно более ясно объяснить, что такое модулярная функция, но не зацикливайтесь на этом. J-функция — модулярная функция, то есть она берёт точку с модулярной кривой, как те, которые изучал Огг — и выдаёт число (опять же, если вы знакомы с комплексными числами, то можете представить модулярную функцию как функцию на обычных комплексных числах, но с непристойным количеством симметрии).


Источник изображения

Это самая «базовая» функция в том смысле, что любая другая модулярная функция для X(1) может быть записана как многочлен или отношение многочленов в J-функции. Кроме того, J-функция является самой базовой модулярной функцией для простейшей модулярной кривой X(1). Назовём её J_2. У некоторых других модулярных кривых, таких как X(2), другая базовая модулярная функция. На самом деле у X(N) базовая модулярная функция J_N такого рода именно тогда, когда форма X(N) является шаром (без «ручек» или «отверстий»), в точности таким, какой изучал Огг.

Он отметил, что следующие несколько коэффициентов исходной J-функции также можно записать как суммы значений из первого столбца таблицы символов Монстра. Другой математик Томпсон понял, что наблюдение Маккея можно развить. В то время Томпсон всё ещё работал с неполной таблицей символов. Более того, вы можете записать несколько коэффициентов других функций J_N в виде сумм других значений из таблицы. Они утверждали, что есть способ записать любой коэффициент J-функции как сумму размерностей неприводимых представлений Монстра (т. Только в 1979 году Фишер, Ливингстон и Торн закончили вычисление таблицы символов, а позже в том же году Конвей и Нортон превратили наблюдения Томпсона в точную гипотезу. записей из первого столбца таблицы символов Монстра). е. Например, вот первые три коэффициента исходной J-функции (в левой части уравнений): Более того, это можно сделать таким образом, что если мы поменяем местами записи из первого столбца с записями из другого столбца таблицы символов, то получим коэффициенты одной из других функций J_N!

196884 = 1 + 196883,

21493760 = 1 + 196883 + 21296876, и

864299970 = 2 × 1 + 2 × 196883 + 21296876 + 842609326,

А вот три первых коэффициента функции J_2 (опять же, в левой части уравнений): где 1, 196883, 21296876, и 842609326 — первые четыре значения в первом столбце таблицы символов Монстра.

4372 = 1 + 4371

96256 = 1 + 4371+91884 и

1240002 = 2×1 + 2×4371 + 91884 + 1139374,

И так далее: каждый столбец таблицы символов даёт коэффициенты базовой модулярной функции для некоторых модулярных кривых. где 1, 4371, 91884 и 1139374 — первые четыре значения во втором столбце таблицы символов Монстра. Конвей и Нортон назвали свою гипотезу Монструозной Фантазией (Monstrous Moonshine).

Он рассказал, что просматривал свежие значения в таблице символов Монстра, для вычисления которых потребовалось так много усилий, а затем спустился в математическую библиотеку и открыл книгу, написанную десятилетиями ранее, с таблицами коэффициентов модулярных функций. Около года назад мне довелось поговорить с Конвеем о том, как появилась эта гипотеза. И он описал это чувство глубокой жути, когда со страниц старой книги на него посмотрели те же самые числа или их очевидные комбинации.

Впервые математики смогли избавиться от оговорки «если Монстр существует». В 1982 году Грисс, наконец, показал, как построить Монстра. Эта теория создана на базе старой физической теории ещё 60-х годов. Спустя десять лет Борчердс, бывший студент Конвея, доказал Монструозную Фантазию, используя теорию «вершинных операторных алгебр», которую создал специально для этой цели. Это своего рода Нобелевская премия по математике, за исключением того, что по какой-то необъяснимой причине для её получения нужно быть моложе 40 лет. Борчердс получил медаль Филдса 1998 года во многом за это доказательство. С другой стороны, хотя Конвей очень доволен работой Борчердса, но он по-прежнему видит в ней лишь проверку, но не объяснение. Как я слышал, Огга удовлетворил ответ Борчердса на его вопрос, но Борчердс не пьёт, поэтому бутылка «Джека Дэниелса» остаётся невостребованной. Да, теперь мы знаем, что коэффициенты модулярных функций — суммы значений символов Монстров, но, Конвей считает, что у нас до сих пор нет чёткой картины, КАК МОЖНО БЫЛО ЭТОГО ОЖИДАТЬ?

В 2007 году Виттен работал над разрешением конфликтов в квантовой гравитации. На этом история не заканчивается. Виттен работал над упрощённым вопросом, выбросив из теории относительности всё, кроме гравитации. Квантовая механика и общая теория относительности не очень совместимы. В этой теории J-функция превращается в функцию секционирования, которая подсчитывает различные энергетические состояния. Он нашёл основания полагать, что VOA из Монструозной Фантазии — ключ к теории гравитации в этой упрощённой конструкции. Виттен задал вопрос, являются ли некоторые из этих состояний черной дыры более распространёнными, чем другие? Тут появляются различные символы Монстра, которые соответствуют состояниям чёрной дыры. Или сколько раз попадётся 196 883? Возвращаясь обратно к Монструозной Фантазии, это в основном сводится к вопросу, сколько единиц мы ожидаем увидеть, когда мы разбиваем данный коэффициент J-функции? Или там в основном единицы с несколькими интересными значениями, разбросанными здесь и там? Являются ли единицы редкими? Если бы всё свелось в основном к единицам, то это сделало бы теорию намного менее интересной. Я думаю, у многих людей возникает такой вопрос, когда они впервые сталкиваются со Фантазией. Несмотря на то, что нам с самого начала встречаются единицы, они становятся очень редкими, когда мы переходим к более крупным коэффициентам, а более крупные символы начинают брать верх. Но об этом не стоит беспокоиться. Соотношение 1 со всеми остальными символами около 1 к 5,8×10^27. После 200-го коэффициента символы в основном появляются пропорционально размеру их измерения. Второй по размеру символ встречается в 196883 раз чаще, третий — в 21296876 раза чаще и т.д. Это примерно соотношение массы скрепки и массы Земли. Возвращаясь к конфигурации Виттена, это означает, что более крупные энергетические состояния для чёрной дыры более распространены, в то время как тривиального вакуумного состояние (1) практически не существует.

Мы (математики) наблюдали (и в некоторых случаях доказывали) феномен Фантазии для других групп за пределами Монстра. Есть ещё много исследований по Фантазии. Специалисты по теории струн продолжают подглядывать в нашу работу, надеясь превратить эти новые Фантазии в новые теории гравитации.

Для более технически подкованных читателей, которых интересуют подробности, рекомендую книгу «Фантазия за пределами Монстра» Терри Гэннона или эту научную статью (в открытом доступе).

Теги
Показать больше

Похожие статьи

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Кнопка «Наверх»
Закрыть