Хабрахабр

[Перевод] Самая красивая теорема математики: тождество Эйлера

Посмотрев лекцию профессора Робина Уилсона о тождестве Эйлера, я наконец смог понять, почему тождество Эйлера является самым красивым уравнением. Чтобы поделиться моим восхищением это темой и укрепить собственные знания, я изложу заметки, сделанные во время лекции. А здесь вы можете купить его прекрасную книгу.

Такой вопрос задал читатель журнала Physics World в 2004 году, чтобы подчеркнуть красоту уравнения Эйлера «e в степени i, умноженного на пи равно минус единице». Что может быть более загадочным, чем взаимодействие мнимых чисел с вещественными, в результате дающее ничто?

Рисунок 1.0: тождество Эйлера — e в степени i, умноженного на пи, плюс единица равно нулю.

И после того, как с большим отрывом в нём выиграло уравнение Эйлера, оно получило званием «самого красивого уравнения в математике».
Ещё раньше, в 1988 году, математик Дэвид Уэллс, писавший статьи для американского математического журнала The Mathematical Intelligencer, составил список из 24 теорем математики и провёл опрос, попросив читателей своей статьи выбрать самую красивую теорему.

Рисунок 2.0: обложка журнала The Mathematical Intelligencer

image

Рисунок 3.0: опрос Дэвида Уэллса из журнала

Других выдающихся математиков вдохновляли его работы. Леонарда Эйлера называют самым продуктивным математиком за всю историю. Ещё один потрясающий математик, Майкл Атья, назвал эту формулу "…математическим аналогом фразы Гамлета — «быть или не быть» — очень короткой, очень сжатой, и в то же время очень глубокой". Один из лучших физиков в мире, Ричард Фейнман, в своих знаменитых лекциях по физике назвал уравнение Эйлера «самой примечательной формулой в математике».

Например, оно встречалось в некоторых эпизодах «Симпсонов». Существует множество интересных фактов об уравнении Эйлера.

Рисунок 4.0: в этой сцене уравнение Эйлера можно заметить на второй книге в самой правой стопке.

image

Рисунок 5.0: в этой сцене уравнение Эйлера написано на футболке второстепенного персонажа.

В 2003 году аспирант Калифорнийского технологического института Билли Коттрелл писал краской на чужих спортивных автомобилях уравнение Эйлера. Также уравнение Эйлера стало ключевым пунктом в уголовном деле. На суде он сказал: "Я знал теорему Эйлера с пяти лет, и её обязаны знать все".

Рисунок 6.0: купюра, выпущенная в 1983 году в Германии в память о двухсотлетии со смерти Эйлера.

image

Рисунок 7.0: марка, выпущенная Швейцарией в 1957 году в честь 250-й годовщины Эйлера.

Почему уравнение Эйлера так важно?

Вы имеете полное право задаться вопросом: почему Билли Коттрелл считал, что об уравнении Эйлера обязаны знать все? И был настолько в этом уверен, что начал писать его на чужих машинах? Ответ прост: Эйлер воспользовался тремя фундаментальными константами математики и применил математические операции умножения и возведения в степень, чтобы записать красивую формулу, дающую в результате ноль или минус один.

  • Константа e связана со степенными функциями.
  • Константа i является не вещественным, а мнимым числом, равным квадратному корню из минус единицы.
  • Знаменитая константа π (пи) связана с окружностями.

Впервые тождество Эйлера появилось в 1748 году в его книге Introductio in analysin infinitorum. Позже другие люди увидели, что эта формула связана с тригонометрическими функциями синуса и косинуса, и эта связь удивительна, ведь степенная функция стремится к бесконечности, а тригонометрические функции колеблются в интервале от — 1 до -1.

e в степени i, умноженного на ϕ (phi) = cos ϕ (phi) + sin ϕ (phi)

image

Рисунок 8.0: экспоненциальная функция y=ex.

image

Рисунок 8.1: график тождества Эйлера.

image

Рисунок 8.2: частоты, испускаемые LC-цепью.

Показанные выше уравнения и графы могут показаться абстрактными, но они важны для квантовой физики и вычислений обработки изображений, и при этом зависят от тождества Эйлера.

1: число для счёта

Число 1 (единица) является основой нашей системы исчисления. С неё мы начинаем счёт. Но как мы считаем? Чтобы считать, мы используем цифры 0–9 и систему разрядов, определяющую значение цифры.

Здесь число 3 исполняет две разные роли, которые зависят от его расположения. Например, число 323 означает 3 сотни, 2 десятка и 3 единицы.

323 = (3*100) + (2*10) + (3*1)

В этой системе вместо 1 используется основание 2. Существует и другая система исчисления, называемая двоичной. Например, в двоичной системе: Она широко применяется в компьютерах и программировании.

1001 = (23) + (02) + (01) + (20) = [9 в системе с основанием 10]

Как первые люди считали предметы или животных? Кто создал системы исчисления?

Как считали первые цивилизации? Как возникли наши системы исчисления? Например 4000 лет назад древние египтяне использовали систему исчисления с разными символами. Мы точно знаем, что они не пользовались нашей разрядной системой. Однако они комбинировали символы, создавая новый символ, обозначающий числа.

image

Рисунок 11: показанные здесь иероглифы образуют число 4622; это одно из чисел, вырезанных на стене в храме в Карнаке (Египет).

image

Рисунок 12: иероглифы — это изображения, обозначающие слова, а в данном случае — числа.

Кроме того, основанием их системы исчисления было 60, а не 10. В то же время, но в другом месте ещё один социум обнаружил способ подсчёта, но в нём тоже использовались символы. Мы используем их метод счёта для определения времени; поэтому в минуте 60 секунд, а в часе 60 минут.

image

Рисунок 13: вавилонские числа из шестидесятиричной системы счисления (с основанием 60).

Для обозначения чисел они использовали буквы. Тысячу лет спустя древние римляне изобрели римские числа. Именно по этой причине для счёта они использовали абакус. Римская нотация не считается разрядной системой, потому что для многих значений нашей системы счисления в ней использовались разные буквы.

image

Рисунок 14: романский абакус в шестнадцатеричной (с основанием 16) системе счисления

image

Рисунок 15: таблица преобразования из арабских в римские числа

Греческие математики обозначали числа буквами. Древние греки тоже не использовали разрядную систему счисления. Многие люди в то время считали греческие числа запутанными. У них были специальные буквы для чисел от 100 до 900.

image

Рисунок 15: таблица букв древних греков.

Этот китайский способ счёта называют первой десятичной разрядной системой. В то же самое время китайские математики начали использовать для расчётов небольшие бамбуковые палочки.

image

Рисунок 16: китайский способ счёта с числами-палочками. Использовался как минимум с 400 года до нашей эры. Квадратная счётная доска использовалась примерно до 1500 года, когда её заменил абакус.

Их система счисления имела основание 20. Однако самая уникальная система счёта использовалась индейцами майя. Чем же отличалась их система счисления? Для обозначения чисел от 1 до 19 они использовали точки и линии. Для каждого числа они использовали изображения голов и отдельный символ нуля 0.

image

Рисунок 17: Система счисления майя с основанием 20, в которой числа обозначались головами

image

Рисунок 18: ещё один способ записи чисел майя.

0: число для обозначения ничего

Некоторые цивилизации использовали пробелы, чтобы, например, отличать число 101 от 11. Спустя какое-то время начало появляться особое число — ноль. К примеру, в пещере в индийском городе Гвалиор археологи обнаружили на стене число 270, в котором был ноль. Самое первое зафиксированное использование нуля можно увидеть в Бодлианской библиотеке.

image

Рисунок 19: вырезанный на стене храма в Гвалиоре круг обозначает ноль. Ему примерно 1500 лет.

image

Рисунок 20: чёрные точки в манускрипте Бакхшали обозначают нули; это самый старый письменный пример использования числа, ему примерно 1800 лет.

Например, при сложении отрицательного числа и нуля получается то же отрицательное число. Примерно 1400 лет назад были записаны правила вычислений с нулём. Деление на нуль не допускается, потому что если разделить на ноль, то мы получим число, которое может быть равно любому нужному нам числу, что должно быть запрещено.

Ниже показана эволюция индо-арабских чисел. Вскоре после этого многими людьми были опубликованы книги по арифметике, распространяющие использование индо-арабской записи чисел. В большинстве стран используется индо-арабская система чисел, но арабские страны до сих пор пользуются арабскими числами.

image

Рисунок 21: на этой схеме показана эволюция чисел, происходящих от чисел брахми и заканчивающаяся числами, которыми мы используем и сегодня.

image

Рисунок 22: классическая гравюра «Арифметика» из Margarita Philosophica Грегора Рейша, на которой изображено соревнование между Боэцием, улыбающимся после открытия индо-арабских чисел и письменных вычислений, и нахмуренным Пифагором, до сих пор пытающимся пользоваться счётной доской.

Пи (π): самое известное иррациональное число

Пи — самое популярное из известных нам иррациональных чисел. Пи можно найти двумя способами: вычислив соотношение длины окружности к её диаметру, или соотношение площади круга к квадрату его радиуса. Евклид доказал, что эти соотношения постоянны для всех окружностей, даже для луны, пенни, шины и т.д.

π = окружность / диаметр ИЛИ π = площадь круга / радиус²

image

Рисунок 22: анимированная связь между окружностью и диаметром в отношении пи.

Оно продолжается вечно. Так как иррациональные числа наподобие пи бесконечны и не имеют повторений, мы никогда не закончим записывать пи. Есть люди, запомнившие множество десятичных разрядов пи (нынешний рекорд — 70 000 цифр! Источник: «Книга рекордов Гиннесса» ).

image

Рисунок 23: данные опроса 941 респондентов для определения процента людей, способных запомнить знаки пи после запятой.

image

Рисунок 24: На стене станции метро Karlsplatz в Вене записаны сотни разрядов пи.

Может казаться, что это много, но на самом деле этот путь бесконечен. На данный момент компьютеры смогли вычислить всего 2,7 триллиона разрядов пи.

Но как поступали люди до Евклида, когда им нужно было найти площадь круга? Как я сказал выше, число пи нашёл Евклид. После вычислений полученное число оказалось равным 3. Историки обнаружили вавилонскую глиняную табличку, в которой было записано отношение периметра шестиугольника к длине описанной вокруг него окружности. Это очень близко к пи. 125.

image

Рисунок 24: вавилонская глиняная табличка с отношением периметра шестигольника к длине описанной окружности.

image

Рисунок 25: Numberwarrior

Историки обнаружили документ, показывающий, как древние египтяне нашли число пи. Древние египтяне тоже близко подобрались к значению пи. Когда историки перевели документ, то нашли такую задачу:

Например, чтобы найти площадь поля диаметром 9 хета (1 хет = 52,35 метра), нужно выполнить следующее вычисление:

Остаток равен 8. Вычесть 1/9 диаметра, а именно 1. Следовательно, площадь будет равна 64 setjat (единица измерения площади). Умножить его на 8, что даёт нам 64.

Тогда если мы вычтем это из исходного диаметра, то получим 2r — (1/9 • 2r) = 8/9(2r). Другими словами, диаметр равен 2r, а 1/9 радиуса равно (1/9 • 2r). То есть пи равно почти 3,16. Тогда площадь круга равна 256/81 r². Они обнаружили это значение пи примерно 4000 лет назад.

image

image

Рисунок 26: математический папирус Ахмеса.

Например, Архимед предпочитал работать с периметрами. Однако греческие математики нашли для вычисления пи способ получше. Когда он чертил шестиугольник, то рисовал окружность с диаметром 1. Он начал рисовать окружности, описывающие многоугольники разного размера. Затем он увеличивал количество сторон многоугольника, пока он не становился похожим на круг. Затем он видел что каждая сторона шестиугольника равна 1/2, а периметр шестиугольника равен 1/2 x 6 = 3. Спустя много лет китайский математик Лю Ху использовал 3072-сторонний многоугольник и получил число 3,14159 (5 верных десятичных разряда пи после запятой). Работая со 96-сторонним многоугольником и применив тот же способ, он получил 2 десятичных разряда пи после запятой: 3 и 10/71 = 3,14084. Он работал со 24000-сторонним многоугольником и получил 3,1415926 — семь верных десятичных разрядов пи после запятой. После этого ещё один китайский математик Цзу Чунчжи провёл ещё более впечатляющую работу.

Это число, названное Людольфовым, было высечено на его могильном камне. Спустя тысячу лет немецкий математик Людольф Цейлен работал со 262-сторонним многоугольником и получил 35 десятичных разрядов пи.

image

image

image

В 1706 году англичанин Джон Мэчин, долгое время работавший профессором астрономии, использовал формулу сложения, чтобы доказать, что пи равно

image

Не беспокоясь о том, как откуда взялась эта формула, Мэчин начал постоянно ею пользоваться, а затем записал показанный ниже ряд. Это был самый большой на то время шаг в количестве разрядов пи.

image

Рисунок 29: Формула Мэчина для пи

Преподаватель математики Уильям Джонс написал книгу и впервые предложил пи для измерения окружностей. Однако первое упоминание пи появилось в 1706 году. Так пи впервые появилась в книгах!

image

image

image

Рисунок 30: Juliabloggers

Эти цифры написаны в комнате пи парижского Дворца открытий. В 1873 году Уильям Шэнкс воспользовался формулой Джона Мэчина и получил 707 десятичных разрядов пи. Однако позже математики выяснили, что верными являются только 527 разрядов.

image

Рисунок 31: комната пи

Его эксперимент основывался на случайном разбрасывании иголок для оценки пи. С другой стороны, более интересный способ нахождения пи обнаружил Буффон. Затем он случайным образом начал бросать иголки на доску и записывал долю иголок, пересекавших линию. Он нарисовал на доске несколько параллельных линий на расстоянии D и взял иголки длиной L.

image

Рисунок 32: Science Friday

Однако если бы одна иголка не пересекла линию, он получил бы только 2 разряда пи. А после этого другой математик по имени Ладзарини подбросил иголку 3408 раз и получил шесть десятичных разрядов пи с соотношением 355/113.

image

Рисунок 32: бросание 1000 иголок для оценки приблизительного значения пи

e: история экспоненциального роста

e — это ещё одно знаменитое иррациональное число. Дробная часть e тоже бесконечна, как и у пи. Мы используем число e для вычисления степенного (экспоненциального) роста. Другими словами, мы используем e, когда видим очень быстрый рост или уменьшение.

Один из величайших, а возможно и лучший математик Леонард Эйлер открыл число e в 1736 году и впервые упомянул это особое число в своей книге Mechanica.

image

image

Рисунок 33: источник

Когда он придумал эту игру, то показал её властителю Севера. Чтобы разобраться в экспоненциальном росте, мы можем использовать историю об изобретателе шахмат. Тогда изобретатель попросил нечто очень простое: 20 зерна на первую клетку шахматной доски, 21 зерна на вторую клетку доски, 22 зерна — на третью, и так далее. Царю понравилась игра и он пообещал, что отдаст автору любую награду. Царь Севера подумал, что просьбу будет выполнить легко, но он ошибался, потому то на последнюю клетку нужно было бы положить 263 зёрен, что равно 9 223 372 036 854 775 808. Каждый раз количество зерна удваивалось. Он начался с 1, постоянно удваивался, и через 64 шага вырос в огромное число! Это и есть экспоненциальный рост.

Если бы изобретатель шахмат выбрал линейное уравнение, например 2n, то получил бы 2, 4, 6, 8, … 128… Следовательно, в дальней перспективе экспоненциальный рост часто намного превышает полиномиальный.

Кстати, 9 223 372 036 854 775 808–1 — это максимальное значение 64-битного целого числа со знаком.

image

image

Рисунок 34: источник: Wikipedia

Однако Якоб Бернулли тоже работал с числом e, когда вычислял сложный процент, чтобы заработать больше денег. Число e открыл Эйлер. Во-первых, это зависит от того, как часто банк рассчитывает проценты. Если вложить 100 долларов под 10% дохода, то как будет расти эта сумма? Если мы передумаем и будем брать проценты каждые 6 месяцев, то в этом случае мы получим больше 110 долларов. Например, если он рассчитывает один раз, то мы получим в конце года 110 долларов. Общая сумма будет равна 110,25 долларов. Дело в ттом, что процент, полученный за первые 6 месяцев, тоже получит свой процент. А если мы будем делать временной интервал всё короче, то окончательные суммы будут продолжать расти. Можно догадаться, что мы можем получить больше денег, если будем забирать деньги каждый квартал года. Однако наш общий доход стремится к ограниченному значению, связанному с e. Такой бесконечный сложный процент сделает нас богатыми!

Когда Эйлер работал с 2,71828, он возвёл экспоненциальную функцию e в степень x. Бернулли не называл число 2,71828 именем e. Свои открытия он изложил в книге The Analysis of Infinite.

Он создал линейный график, показывающий производство пищи и экспоненциальный график, показывающий население мира. В 1798 году Томас Мальтус использовал экспоненциальную функцию в своём эссе, посвящённом пищевому дефициту будущего. Это явление назвали «мальтузианской катастрофой». Мальтус сделал вывод, что в дальней перспективе экспоненциальный рост победит, и мир ждёт серьёзный дефицит пищи. Ньютон тоже использовал эту модель, чтобы показать, как охлаждается чашка чая.

image

Рисунок 35: закон Ньютона-Рихмана

image

Рисунок 36: мальтузианская катастрофа

Мнимость числа: i, квадратный корень -1

Долгое время для решения своих задач математикам было достаточно обычных чисел. Однако в какой-то момент для дальнейшего развития им потребовалось открыть нечто новое и загадочное. Например, итальянский математик Кардано пытался разделить число 10 на 2 части, произведение которых было бы равно 40. Чтобы решить эту задачу, он записал уравнение: x (10-x) = 40. Когда он решил это квадратное уравнение, то получил два решения: 5 плюс √-15 и 5 минус √-15, что в то время не имело никакого смысла. Этот результат был бессмысленным, потому что по определению квадратного корня ему нужно было найти число, квадрат которого был бы отрицательным. Однако и положительное, и отрицательное числа в квадрате имеют положительное значение. Как бы то ни было, он нашёл своё уникальное число. Однако первым математиком, назвавшим √-1 (квадратный корень из минус единицы) мнимым числом i, был Эйлер.

Лейбниц дал такой комментарий о мнимом числе √-1:

Комплексные числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием.

Мы можем складывать, вычитать, умножать и делить мнимые числа. Сложение, вычитание и умножение просты, а деление немного сложнее. Вещественные и мнимые части складываются по отдельности. В случае умножения i2 будет равно -1.

Сегодня мы представляем каждое комплексное число a + bi как точку с координатами (a,b). После Эйлера математик Каспар Вессель представил мнимые числа геометрически с создал комплексную плоскость.

image

image

Рисунки 37 и 38: комплексные числа

Однако ирландский математик и астроном Уильям Роуэн Гамильтон покончил с этими сомнениями, определив комплексные числа применительно к кватернионам. В викторианскую эпоху многие относились к мнимым числам с подозрением.

Самое красивое уравнение: тождество Эйлера

Тождество Эйлера связывает экспоненциальную функцию с функциями синуса и косинуса, значения которых колеблются от минус единицы до единицы. Чтобы найти вязь с тригонометрическими функциями, мы можем представить их в виде бесконечного ряда, истинного для всех значений

image

Рисунок 39: открытие тождества Эйлера

image

Рисунок 40: тождество Эйлера

Тем не менее, мы связываем его с именем Эйлера в знак почтения перед этим великим первопроходцем математики. Эйлер никогда не записывал это тождество в явном виде, и мы не знаем, кто впервые записал его.

Теги
Показать больше

Похожие статьи

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Кнопка «Наверх»
Закрыть