Хабрахабр

[Перевод] Ричард Хэмминг: Глава 14. Цифровые фильтры — 1

«Цель этого курса — подготовить вас к вашему техническому будущему.»

Помните офигенную статью «Вы и ваша работа» (+219, 2372 в закладки, 375k прочтений)? imageПривет, Хабр.

Мы ее переводи, ведь мужик дело говорит. Так вот у Хэмминга (да, да, самоконтролирующиеся и самокорректирующиеся коды Хэмминга) есть целая книга, написанная по мотивам его лекций.

«Это не просто заряд положительного мышления; в ней описаны условия, которые увеличивают шансы сделать великую работу.» Это книга не просто про ИТ, это книга про стиль мышления невероятно крутых людей.

Мы уже перевели 16 (из 30) глав.

Глава 14. Цифровые фильтры — 1

(За перевод спасибо Максиму Лавриненко и Пахомову Андрею, которые откликнулись на мой призыв в «предыдущей главе».) Кто хочет помочь с переводом — пишите в личку или на почту magisterludi2016@yandex.ru

Разумеется, мы сможем изучить лишь некоторые способы их применения, поэтому сосредоточимся на основных принципах. Теперь, когда мы изучили компьютеры и разобрались в том, как они представляют информацию, давайте обратимся к тому, как компьютеры обрабатывают информацию.

Линейная обработка, единственная, на которую у меня хватает времени в рамках этой книги, подразумевает наличие цифровых фильтров. Большая часть того, что компьютеры обрабатывают, — это сигналы из разных источников, и мы уже обсуждали, почему они часто бывают в виде потока чисел, полученного из системы дискретизации. О. Чтобы продемонстрировать, как всё происходит в реальной жизни, сначала я расскажу вам о том, как я стал работать с ними, и далее о том, чем я занимался.
Во-первых, я никогда не заходил в офис моего вице-президента В. Однажды, примерно в 1973-1974 годах, при встрече в коридоре, я сказал ему, что помню, как в то время, когда я пришёл в Bell Telephone Laboratories в 1946 году, компания постепенно переходила от релейного к электронному центральному управлению, и многие сотрудники тогда были переведены в другие подразделения, так как не смогли перейти на осциллографы и другие новейшие электронные технологии. Бейкера; мы встречались только в коридорах, и обычно останавливались всего на несколько минут, чтобы поговорить. Далее я упомянул, что наблюдал аналогичную ситуацию, когда мы перешли со старых аналоговых компьютеров (по которым в Bell Telephone Laboratories было много экспертов, т. Для него они представляли лишь серьёзные экономические потери, но для меня это была и социальная потеря, так как эти сотрудники были как минимум недовольны тем, что их перевели (хоть это и была их собственная ошибка). они разрабатывали большую часть технологий во время Второй мировой войны) на более современные цифровые компьютеры, — мы снова потеряли большое количество инженеров, и снова они были как экономической, так и социальной потерей. к.

Таким образом, я пришел к выводу, что мы должны сейчас что-то сделать для улучшения ситуации, например, получить элементарные учебники и другие обучающие материалы, чтобы облегчить адаптацию сотрудников и потерять меньшее их количество. Затем я заметил, что мы оба знаем, что компания в кратчайшее сроки собирается полностью перейти на цифровую передачу сигналов, в результате чего мы получим еще большее количество недовольных инженеров. И ушел! Он посмотрел мне прямо в глаза и сказал: «Да, Хэмминг, ты должен сделать это». Более того, он продолжал ободрять меня через Джона Тьюки, с которым часто общался, поэтому я знал, что он следит за моими усилиями.

Сначала я думал, что очень мало знаю о цифровых фильтрах, и, кроме того, на самом деле, меня они не интересовали. Что делать? Нет! Но разумно ли игнорировать своего вице-президента, а также убедительность собственных наблюдений? Возможные социальные потери были слишком большими для меня, чтобы не придавать им значения.

После некоторого напора он согласился написать книгу, и я подумал, что был спасён. Поэтому я обратился к своему другу Джиму Кайзеру, одному из мировых экспертов в области цифровых фильтров того времени, с предложением приостановить его текущее исследование и написать книгу об электронных фильтрах, аргументируя это тем, что подведение итогов — это естественный этап в развитии любого учёного. Но наблюдение за тем, что он делал, показывало, что он ничего не писал.

Он согласился! Чтобы спасти свой план я сделал ему следующее предложение: если он будет обучать меня за завтраками в ресторане (там будет больше времени на то, чтобы подумать, чем в столовой), чтобы помочь написать книгу совместно (хотя бы первую часть), то мы выпустим её под авторством Кайзера и Хэмминга.

Поэтому однажды я сказал: «Если ты так ничего и не напишешь, авторство книги в конечном итоге будет указано, как Хэмминга и Кайзера». Спустя некоторое время я перенял от него много знаний, и у меня была готова первая часть книги, но он сам всё ещё ничего не писал. В итоге, когда я закончил написание книги, а он ничего так и не написал, я сказал, что могу поблагодарить его в предисловии, но автором будет указан только Хэмминг, он согласился – и, несмотря на это, мы и по сей день хорошие друзья! И он согласился. Так появилась книга о цифровых фильтрах, которую я написал, и которая в конечном итоге прошла через три издания, всегда с хорошими советами от Кайзера.

Короткие курсы я начал давать ещё в процессе написания книги, так как мне нужна была обратная связь, и я предложил Отделу расширения Университета Калифорнии в Лос-Анджелесе (УКЛА) дать мне проводить обучающие курсы, и они согласились. Также благодаря книге я посетил много интересных мест, так как много лет проводил короткие, недельные курсы. Выполнение того, что нужно было сделать, хотя я и не хотел этого делать, в конечном итоге окупилось. Это привело к годам преподавания в УКЛА, по одному разу в Париже, Англии — Лондоне и Кембридже, а также во многих других местах в США и, как минимум, дважды в Канаде.

Изучение нового предмета — это то, что вам придётся делать много раз в своей карьере, если вы хотите быть лидером и не оставаться позади новейших разработок. Теперь перейдём к более важной части — о том, как я начал изучать новый предмет — цифровые фильтры. Кроме того у меня было много дополнительных знаний благодаря моей работе по обработке сигналов, выполненной для Джона Тьюки, который был профессором из Принстона, гением и одним или двумя днями в неделю сотрудником Bell Telephone Laboratories. Вскоре мне стало ясно, что в теории цифровых фильтров преобладают Ряды Фурье, которые я как раз изучал в колледже. На протяжении почти десяти лет большую часть времени я был его вычислительной машиной.

Почему же тогда так отличаются Ряды Фурье? Будучи математиком, я знал, как и все вы, что любая полная система функций подойдет так же хорошо для разложения произвольной функции в ряд как и любая другая полная система функций. Один из инженеров сказал, что переменные токи были синусоидальными, поэтому они использовали синусоиды, на что я ответил, что это не имело для меня никакого смысла. Я спрашивал у разных инженеров-электротехников, но не смог получить удовлетворительных ответов. Вот тебе и обычное образование типичного инженера-электрика после окончания школы!

Что же на самом деле происходит? Поэтому я должен был подумать о базовых принципах, как я уже делал это при использовании компьютера с обнаружением ошибок. Поэтому в качестве инструмента представления вещей мы приходим к тригонометрическим функциям (собственным передаточным функциям) в виде, как рядов Фурье, так и интегралов Фурье. Я полагаю, многие из вас знают, что то, что мы хотим — это инвариантное во времени представление сигналов, поскольку обычно нет возможности установить начало сигнала.

Следовательно, простое правило: если у вас есть либо система с инвариантом во времени, либо линейная система, то вы должны использовать комплексные экспоненты. Во-вторых, линейные системы, которые нас интересуют на этом этапе, имеют те же собственные функции — комплексные экспоненты, которые эквивалентны действительным тригонометрическим функциям.

Существует теорема, которую часто называют «теоремой дискретизации Найквиста» (считалось, что она была известна задолго до того и даже была опубликована Уиттекером в форме, которую едва ли можно понять, даже если вы знаете теорему Найквиста), в которой говорится, что если у вас есть сигнал с ограниченным по частоте спектром и вы снимаете отсчёты через равные промежутки времени с частотой не менее чем в два раза превышающей максимальную частоту в спектре сигнала, то исходный сигнал может быть восстановлен из полученных отсчётов без потерь. При дальнейшем углублении в тему я нашёл и третью причину для использования их в области цифровых фильтров. Частоту дискретизации часто называют «частотой Найквиста» в честь Гарри Найквиста, известного также за вклад в стабильность сервоприводов, а также другие вещи. Следовательно, процесс дискретизации не теряет никакой информации, когда мы заменяем непрерывный сигнал равноотстоящими отчётами, при условии, что уровни квантования охватывают всю прямую вещественных чисел. Это термин ввёл Тьюки для описания явления, когда одна более высокая частота проявится позже в качестве более низкой частоты в диапазоне Найквиста. Если вы дискретизируете функцию с неограниченной шириной спектра, то более высокие частоты «накладываются» на более низкие.

При равномерной по времени дискретизации и последующем восстановлении сигнала одна высокая степень t станет многочленом (состоящим из нескольких членов) более низких степеней t.
Таким образом, существуют три веские причины для использования функций Фурье: (1) инвариантность во времени, (2) линейность и (3) восстановление исходной функции из ее дискретного представления производится просто и понятно. То же самое неверно для любого другого набора функций, скажем степеней t.

У нас есть линейная операция, и когда мы помещаем сигнал (поток чисел) в фильтр, выводится другой поток чисел. Поэтому мы будем анализировать сигналы в терминах функций Фурье, и мне не нужно обсуждать с инженерами-электротехниками, почему мы обычно используем комплексные экспоненты вместо вещественных тригонометрических функций для представления частот. Как отмечалось выше, они являются сложными экспонентами; это собственные функции линейных, инвариантных по времени, дискретных систем с равномерной во времени дискретизацией. Естественно, если не из курса линейной алгебры, то из других предметов, таких как курс дифференциальных уравнений, возникает вопрос, какие функции входят и выходят без изменений, кроме масштаба?

Когда я спрашивал различных инженеров-электриков о том, что такое передаточная функция мне никто не сказал об этом! И вот ведь как, знаменитая передаточная функция — это собственные значения соответствующих собственных функций! В их сознании была одна и та же идея, но в двух и более различных образах, и они и не подозревали о какой-либо связи между ними! Да, когда им указывали, что это то же самое, им приходилось согласиться, но сами они об этом, кажется, никогда не задумывались! Всегда начинайте с базовых принципов!

В природе есть много сигналов, которые являются непрерывными, и которые мы дискретизируем через равные промежутки времени и далее оцифровываем (квантуем). Теперь давайте обсудим «Что такое сигнал?». Таким образом, цифровой сигнал является последовательностью измерений, полученных через одинаковые интервалы, представленной в виде чисел. Обычно сигналы являются функцией времени, но любой эксперимент в лаборатории, который, например, использует изменение напряжения с одинаковым шагом и фиксирует соответствующие отклики, также является цифровым сигналом. Допускается обработка и неравномерно отстоящих данных, но я не буду рассматривать их здесь. И мы получаем на выходе цифрового фильтра еще один набор чисел, равноотстоящих друг от друга.

Вы все видели изображения, квантованные на два, четыре, восемь и более уровней, и даже изображение двух уровней обычно можно распознать. Квантование сигнала на один из нескольких уровней выхода часто имеет удивительно малый эффект. Я не буду рассматривать квантование здесь, поскольку оно обычно оказывает небольшой эффект, хотя временами это очень важно.

Это простое следствие тригонометрического тождества Следствием равномерной по времени дискретизации является наложение, частота выше частоты Найквиста (которая имеет два отсчёта в цикле) будет наложена на более низкую частоту.

Если а > 1/2, то мы можем написать где a — положительный остаток после удаления целого числа вращений, k (мы всегда используем вращения при обсуждении результатов и используем радианы в вычислениях, так же, как мы используем десятичные и базовые натуральные логарифмы), и n — количество шагов.

Если мы используем две реальные тригонометрические функции, sin и cos, то мы получаем пару собственных функций для каждой частоты, и диапазон вращения будет от 0 до 1/2 оборотов, а при использовании комплексной экспоненциальной записи мы получим одну собственную функцию для каждой частоты, но теперь диапазон будет достигать от -1/2 до 1/2 оборотов. Таким образом, наложенный диапазон будет меньше 1/2 оборота, плюс-минус. Максимальная частота дискретизации, для которой наложение не происходит, — это два отсчёта в цикле, такая частота называется частотой Найквиста. Такое предотвращение множественных собственных значений является одной из причин, почему комплексные частоты намного легче обрабатываются, чем действительные синусоидальные и косинусные функции. Сигналы от различных наложенных частот переходят на одну частоту в диапазоне и алгебраически складываются; это то, что мы получаем в результате выполнения дискретизации. Исходный сигнал не может быть восстановлен по отсчётам в диапазоне наложенных частот, только частоты которые попадают в интервал неналоженных частот (от -1/2 до ½) могут быть однозначно определены. При максимальной частоте дискретизации нельзя сказать результат для 1, так как неналоженные частоты должны быть внутри диапазона. Таким образом во время наложения может произойти усиление или подавление определенной частоты, и мы не можем получить исходный сигнал из сигнала с наложением.

Всегда разумно перенимать стандартную систему счисления и структуру мышления из одной области в другую — одна область применения может позволить найти решение задачи в другой. Мы будем растягивать (сжимать) время, чтобы мы могли измерять частоту дискретизации как 1 отсчёт в единицу времени, потому что это значительно все упрощает и позволяет распространить данные от милли и микросекунд до таких интервалов, которые могут занять несколько дней или даже лет между отсчётами. (Но тогда я изначально обучался математике) Я убедился, что есть большой смысл делать так везде, где это возможно, — убирайте посторонние факторы масштаба и переходите к исходным выражениям.

Мне было удобно думать, что как только снимаются отсчёты, все частоты находятся в диапазоне Найквиста, и, следовательно, нам не нужно рисовать периодические продолжения чего-либо, так как другие частоты больше не существуют в сигнале — после дискретизации высокие частоты переходят в нижний диапазон и перестают существовать. Наложение — это фундаментальный эффект дискретизации, и он не имеет ничего общего с обработкой сигналов. Акт дискретизации производит наложенный сигнал, с которым мы должны работать. Как же я ошибался!

В первой истории я пытался вычислить численное решение системы из 28 обыкновенных дифференциальных уравнений, и я должен был знать, какую частоту дискретизации мне нужно использовать (размер шага решения — это частота дискретизации, которую вы используете), поскольку, если бы она была вдвое меньше, чем ожидалось, то счётчик вычислений будет примерно в два раза больше. Теперь я перехожу к трем историям, в которых используются только идеи дискретизации и наложения. Кто мог знать об этом? В наиболее популярных и практических методах численного решения математическая теория рассчитывает размер шага по пятой производной. Но если рассматривать шаг в рамках дискретизации, наложение начинается с двух отсчётов для самой высокой частоты, при условии, что у вас есть данные от минус до плюс бесконечности. Никто. И, наконец, при наличии данных только с одной стороны, возможен, еще один фактор удвоения; всего 8 отсчётов за цикл. Я интуитивно понимал, что при наличии только короткого диапазона из максимум пяти точек данных, мне потребуется примерно в два раза больше, или 4 отсчёта за цикл.

Затем я сделал две вещи: (1) разработал теорию и (2) провел численные тесты на простом дифференциальном уравнении

Так что я объяснил всё, как есть и запросил высшие частоты в ожидаемом решении. Оба они показали, что при 7 отсчётах за цикл, вы получаете приблизительную точность (за шаг), а при 10 — абсолютную. И это было правильно, и ответы были удовлетворительными. Справедливость моей просьбы была оценена, и через несколько дней мне сказали, что я должен беспокоиться о частотах до 10 циклов в секунду, а те, что выше не моя забота. Теорема дискретизации в действии!

Я сразу же засмеялся и сказал, что это должно быть какая-то ошибка, так как для модели, которой они пользовались, было бы достаточно от 70 до 100 отсчётов. Вторая история затрагивает историю, рассказанную мне случайно в залах Bell Telephone Laboratories, о том, что у какого-то субподрядчика Западного побережья возникли проблемы с имитацией запуска ракеты Nike, он использовали интервалы между отсчетами от 1/1000 до 1/10 000 секунды. Отладка большой программы на другом конце континента при помощи теоремы дискретизации! Оказалось, что у них было двоичное число, смещённое на 7 позиций влево, в 128 раз большее!

Но я понял, что если они с умом дискретизируют высокую частоту, то дискретизация сама по себе понизит частоту сигнала (наложит исходный сигнал на более низкую часть спектра). Третья история о том, как группа в военно-морской аспирантуре понижала частоту очень высокочастотного сигнала настолько, чтобы иметь возможность его дискретизировать, согласно теореме дискретизации, как они ее понимали. И в этот раз мне понадобилось только твёрдое понимание эффекта наложения при дискретизации. После нескольких дней споров они всё таки сняли стойку с оборудованием для понижения частоты, и тогда остальная часть оборудования стала работать лучше! Это еще один пример того, почему вам нужно хорошо знать базовые принципы; остальное вы сможете легко додумать и делать вещи о которых вам никто никогда не говорил.

I Рисунок 14.

Теперь, когда мы понимаем, что такое сигнал, и что дискретизация делает с сигналом, мы можем смело переходить к более подробному рассмотрению процессов обработки сигналов. Дискретизация — это фундаментальный подход, который мы используем при обработке данных в процессе работы за цифровыми компьютерами.

Впервые подобная задача возникла в телефонной компании, когда у них появилась идея, что если переместить все частоты одного голосового сообщения наверх (модулировать сигнал), за предел диапазона частот другого голосового сообщения, то эти два сигнала можно сложить и отправить вместе по одним и тем же проводам, а на другой стороне их можно будет отфильтровать и разделить, после чего перенести частоты более высокого сигнала в обычный интервал частот (демодулировать). Сначала мы обсудим не рекурсивные фильтры, целью которых является пропускание одних частот и подавление других. Такое смещение частоты – это просто умножение на синусоидальную функцию и выбор одной из двух частот (однополосная модуляция), которые возникают по следующему тригонометрическому тождеству (на этот раз мы используем вещественные функции)

Нет ничего загадочного в изменении частоты (модуляции) сигнала, это не более чем одно из тригонометрических тождеств.

Нерекурсивные фильтры, которые мы рассмотрим в начале, в основном будут сглаживающими фильтрами, где входными значениями являются значения u(t)=u(n)=un, а выходными — yn

с Cj=C-j (коэффициенты симметричны относительно центрального значения C0).

Предположим, что у нас есть сигнал с добавлением «шума» и его нужно сгладить, удалить шум. Мне нужно напомнить вам о методе наименьших квадратов, поскольку он играет фундаментальную роль в том, что мы собираемся делать, для этого я разработаю сглаживающий фильтр, чтобы показать вам, как создаются фильтры. Я полагаю, что вам покажется разумным приблизить 5 последовательных значений прямой линей методом наименьших квадратов, а затем взять среднее значение на этой линии в качестве «сглаженного значения функции» в этой точке.

14. Для математического удобства мы выберем 5 точек при t = -2, -1,0,1,2 и проведем
прямую линию, рис. I.

е. Метод наименьших квадратов говорит, что мы должны минимизировать сумму квадратов различий между данными и точками на линии, т. минимизировать

Это a и b, а не t (теперь дискретная переменная k) и u. Какие параметры нужно использовать для дифференциации, чтобы найти минимум? Следовательно, при дифференцировании по а и b и приравнивании производных к нулю для получения минимума имеем Линия зависит от параметров a и b, и это часто
камень преткновения для студентов; параметры уравнения являются переменными для минимизации!

В этом случае нам нужно только a — значение линии в средней точке, следовательно, используем (некоторые суммы указаны для последующего использования),

из верхнего уравнения имеем

Когда вы думаете о том, как выполнять вычисление сглаженного значения для найденного a, думайте о данных в вертикальном столбце, рис. что является просто средним из пяти смежных значений. II, взятых с коэффициентами 1/5, как о скользящем взвешенном значении; вы можете представить себе окно, через которое вы смотрите на данные, причем «форма» окна – это и есть коэффициенты фильтра. 14. Рассмотренный случай сглаживания является равномерным.

Если бы мы использовали 2k+1 симметрично расположенные точки, мы бы все равно получили бы среднее из точек данных в качестве сглаженного значения, которое должно было бы устранить шум.

14. Предположим, что мы сгладили функцию аппроксимировав ее параболой вместо прямой, рис. III:

Установив разность квадратов и дифференцируя в этот раз по a, b и c, получим:

Переписывая первое и третье уравнения (среднее не включает a) и подставляя рассчитанные выше суммы мы получаем Опять же нам нужно только a.

Чтобы исключить переменную c, которая нам не нужна, умножим верхнее уравнение на 17 и нижнее уравнение на -5 и сложим, чтобы получить

Не стоит беспокоиться по этому поводу, так как мы говорим об окне метафорически, и, следовательно, возможна отрицательная передача. и на этот раз наше «сглаживающее окно» не имеет одинаковых коэффициентов, более того, некоторые из них являются отрицательными.

II
Рисунок 14.

III Рисунок 14.

Если мы сейчас сместим эти полученные методом наименьших квадратов формулы сглаживания в правильное место для получения значения в точке n, то мы получим:

Мы знаем, что так как уравнения линейны, они должны возвращать собственную функцию, но умноженную на собственное значение соответствующее частоте собственной функции — значение передаточной функции на этой частоте. Теперь зададимся вопросом, ​​что будет на выходе, если на входе мы поместим чистую собственную функцию. Взяв верхнюю часть двух формул, мы имеем

Применим элементарную тригонометрию и получим собственное значение на частоте ω (передаточную функцию):

В случае параболического сглаживания мы получим:

14. Эти передаточные характеристики для сглаживания 2к+1 значений легко зарисовать, рис. IV.

Из очевидной формулы Формулы сглаживания имеют центральную симметрию по своим коэффициентам, а дифференцирующие формулы имеют нечетную симметрию.

Когда мы справились с этими двумя особыми случаями, мы получили общий случай. мы видим, что любая формула представляет собой сумму нечетной и четной функции, поэтому любой нерекурсивный цифровой фильтр представляет собой сумму сглаживающего фильтра и дифференцирующего фильтра.

Таким образом мы пришли к тому, что задача получения желаемой дискретной передаточной характеристики сводится к задаче разложения ее непрерывного представления в ряд Фурье. Для сглаживающих формул мы видим, что кривая собственных значений (передаточная функция) является разложением Фурье в косинусах, а для формулы дифференцирования — разложением в синусах.

Если предположить, что произвольная функция f (t) представлена в виде
Теперь кратко переформулируем ряды Фурье.

Используя условия ортогональности (их можно найти с помощью элементарной тригонометрии и простых интегрирований):

мы получаем

В форме комплексных экспонент это, конечно, выглядит намного проще. и так как мы использовали a0/2 в качестве первого коэффициента, та же формула для ak справедлива и для случая k= 0.

Пусть множество ортогональных функций задано как с весовой функцией w (t)≥0. Далее нам нужно доказать, что приближение разложением по любому ортогональному множеству функций соответствует методу наименьших квадратов. Ортогональность означает

IV Рисунок 14.

Как и выше, обычное разложение даст коэффициенты

где

когда функции вещественны, в случае же комплексных функций мы умножаем на комплексно-сопряженную функцию.

У нас есть Теперь рассмотрим аппроксимацию полным набором ортогональных функций с использованием коэффициентов Ck (заглавная C) с точки зрения метода наименьших квадратов.

Дифференцируем по Cm и получаем
для минимизации.

Следовательно, приближение любым ортогональным набором функций является также приближением методом наименьших квдаратов. из перестановки можно заметить, что Ck=ck.

Если мы продолжим наблюдать над неравенством полученным неравенством, то в общем случае мы получим неравенство Бесселя

Это неравенство позволяет определить, достаточно ли вы взяли членов для аппроксимации разложением в конечный ряд. для числа коэффициентов, взятых для разложения в ряд. На практике оно зарекомендовало себя отличным ориентиром того, сколько членов разложения в ряд Фурье нужно использовать.

Продолжение следует...

Кто хочет помочь с переводом — пишите в личку или на почту magisterludi2016@yandex.ru

Кстати, мы еще запустили перевод еще одной крутейшей книги — «The Dream Machine: История компьютерной революции»)

Содержание книги и переведенные главы

  1. Intro to The Art of Doing Science and Engineering: Learning to Learn (March 28, 1995) (в работе) Перевод: Глава 1
  2. «Foundations of the Digital (Discrete) Revolution» (March 30, 1995) Глава 2. Основы цифровой (дискретной) революции
  3. «History of Computers — Hardware» (March 31, 1995) Глава 3. История компьютеров — железо
  4. «History of Computers — Software» (April 4, 1995) Глава 4. История компьютеров — Софт
  5. «History of Computers — Applications» (April 6, 1995) Глава 5. История компьютеров — практическое применение
  6. «Artificial Intelligence — Part I» (April 7, 1995) (в работе)
  7. «Artificial Intelligence — Part II» (April 11, 1995) (в работе)
  8. «Artificial Intelligence III» (April 13, 1995) Глава 8. Искуственный интеллект-III
  9. «n-Dimensional Space» (April 14, 1995) Глава 9. N-мерное пространство
  10. «Coding Theory — The Representation of Information, Part I» (April 18, 1995) (в работе)
  11. «Coding Theory — The Representation of Information, Part II» (April 20, 1995)
  12. «Error-Correcting Codes» (April 21, 1995) (в работе)
  13. «Information Theory» (April 25, 1995) (в работе, Горгуров Алексей)
  14. «Digital Filters, Part I» (April 27, 1995) Глава 14. Цифровые фильтры — 1
  15. «Digital Filters, Part II» (April 28, 1995) в работе
  16. «Digital Filters, Part III» (May 2, 1995)
  17. «Digital Filters, Part IV» (May 4, 1995)
  18. «Simulation, Part I» (May 5, 1995) (в работе)
  19. «Simulation, Part II» (May 9, 1995) готово
  20. «Simulation, Part III» (May 11, 1995)
  21. «Fiber Optics» (May 12, 1995) в работе
  22. «Computer Aided Instruction» (May 16, 1995) (в работе)
  23. «Mathematics» (May 18, 1995) Глава 23. Математика
  24. «Quantum Mechanics» (May 19, 1995) Глава 24. Квантовая механика
  25. «Creativity» (May 23, 1995). Перевод: Глава 25. Креативность
  26. «Experts» (May 25, 1995) Глава 26. Эксперты
  27. «Unreliable Data» (May 26, 1995) (в работе)
  28. «Systems Engineering» (May 30, 1995) Глава 28. Системная Инженерия
  29. «You Get What You Measure» (June 1, 1995) Глава 29. Вы получаете то, что вы измеряете
  30. «How Do We Know What We Know» (June 2, 1995) в работе
  31. Hamming, «You and Your Research» (June 6, 1995). Перевод: Вы и ваша работа

Кто хочет помочь с переводом — пишите в личку или на почту magisterludi2016@yandex.ru

Теги
Показать больше

Похожие статьи

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Кнопка «Наверх»
Закрыть