Хабрахабр

[Перевод] Почему сумма трёх кубов – это такая сложная математическая задача

Тяжело искать ответы в бесконечном пространстве. Математика уровня старших классов может помочь вам сузить область поисков.

Однако недавно математики обнаружили нечто новое касательно числа 3: третий способ выразить это число в виде суммы трёх кубов. Учитывая, что люди изучают свойства чисел тысячи лет, можно было бы решить, что нам известно всё о числе 3. Легко показать, что большую часть чисел нельзя записать в виде одного куба или суммы из двух кубов, но существует гипотеза, что большую часть чисел можно записать в виде суммы из трёх кубов. Задача записи числа через сумму трёх кубов целых чисел оказывается неожиданно интересной. Однако найти эти кубы оказывается иногда чрезвычайно сложно.

И в этом сентябре Эндрю Букер и Эндрю Сазерленд, наконец, нашли и третий способ:
3 = 569 936 821 221 962 380 7203 + (−569 936 821 113 563 493 509)3 + (−472 715 493 453 327 032)3 К примеру, нам было известно, что число 3 можно записать в виде 13 + 13 + 13, а также в виде 43 + 43 + (-5)3, однако более 60 лет математиков интересовал вопрос, нет ли ещё одного способа сделать это.

Большинство из них не справится с таким количеством цифр. Если вам захочется проверить этот результат, не пытайтесь использовать калькулятор. Но с этим справится WolframAlpha.

Но почему на подобные прорывы требуется столько времени? В поисках новых вариантов решений для числа 3, математики используют техники, придуманные в этом году Буккером, первым нашедшим сумму трёх кубов для числа 33. Поэтому фокус состоит в том, чтобы найти более хитрые методы поиска. В поисках правильных кубов приходится покрывать очень большую территорию, а нужное направление нам может указать лишь небольшое число подсказок. Чтобы представить себе саму задачу и её решение, начнём с более простого вопроса: как мы можем записать 33 в виде суммы трёх целых чисел?

Мы можем использовать и отрицательные числа: 33 = 35 + (−1) + (−1). Мы можем записать 33 = 19 + 6 + 8, или 33 = 11 + 11 + 11, или 33 = 31 + 1 + 1. Существует бесконечное множество способов сделать это, поскольку всегда можно увеличить одно или два числа и уменьшить третье для компенсации этого – например, 33 = 36 + (−1) + (−2), 33 = 100 + 41 + (−108), и так далее.

Нам нужно будет найти числа, являющиеся квадратами целых чисел, типа 1 = 12, 9 = 32, и 64 = 82 — их сумма даёт 33. Что насчёт записи 33 в виде суммы трёх квадратов? Есть ли ещё варианты? Немного поигравшись, можно обнаружить, что 33 = 42 + 42 + 12 и 33 = 52 + 22 + 22. Можно заменить 4 на -4, и получить 33 = (-4)2 + 42 + 12, что даст нам ещё несколько способов записи наши решений, но как их не считай, найдётся не очень много способов записать 33 в виде суммы трёх квадратов. В принципе, нет.

У нас меньше выбор, и, что ещё важнее, сложение лишь увеличивает нашу сумму. При суммировании квадратов у нас нет той же гибкости, что при суммировании любых целых чисел. Ведь квадраты целых чисел не бывают отрицательными – возведение в квадрат и положительного и отрицательного числа всегда даёт положительное.

Пытаясь найти три квадрата, дающих в сумме 33, мы не можем использовать числа, чьи квадраты больше, чем 33, поскольку как только наша сумма выйдет за пределы 33, уменьшить её уже не получится. У квадратов больше ограничений, но это даёт нам и нечто полезное: наше пространство поисков «ограничено». А это значит, нам нужно рассмотреть лишь комбинации из 02, 12, 22, 32, 42 и 52 (их отрицательные двойники ничего нового нам не дают, и мы их проигнорируем).

Достаточно небольшой список для того, чтобы проверить все возможности и убедиться, что мы ничего не пропустили. Имея шесть вариантов для каждого их трёх квадратов, мы получаем не более 6 × 6 × 6 = 216 способов записать 33 как их сумму.

Несложно видеть, что она комбинирует ограниченный выбор из задачи о сумме квадратов с бесконечным пространством поиска из задачи о сумме целых чисел. Теперь вернёмся к задаче о сумме трёх кубов. Мы можем использовать числа типа 1 = 13, 8=23, 125=53, но не можем использовать 2, 3, 4, 10, 108, и большую часть остальных чисел. Как и с квадратами, не любое целое число является кубом другого числа. Доступ к отрицательным числам даёт нам неограниченное количество вариантов, то есть, наше пространство поиска, как и в случае с суммой целых чисел, неограниченно. Но, в отличие от квадратов, кубы бывают отрицательными – к примеру, (-2)3 = -8, (-4)3 = -64 – а значит, мы можем по необходимости и уменьшать нашу сумму.

И люди искали их десятилетиями. Неограниченность пространства поиска означает, что мы можем искать ответы очень долго. Давайте посмотрим, как это удалось сделать. Понадобился суперкомпьютер и хитрая математика, чтобы найти, наконец, правильную комбинацию кубов.

Допустим, вам нужно найти решение уравнения:

33 = x3 + y3 + z3

Если вы ничего не найдёте, можно определить новое пространство поиска и начать сначала. Простой подход – разметить некий регион чисел и подставлять каждый из них, пока что-нибудь не подойдёт. Это похоже на поиск новых планет при помощи методичного изучения неба в телескоп.

Сначала вы пробуете: Представьте, что ваше начальное пространство поиска ограничивает все x, y и z рамками от -100 до 100.

(−100)3 + (−100)3 + (−100)3

Тогда вы пробуете: Не вышло.

(−99)3 + (−100)3 + (−100)3

Вы продолжаете, пока не дойдёте до (100, −100, −100), потом переключаетесь на (−100, −99, −100), и вновь продолжаете свою охоту. Тоже не работает. Придётся обозначить новое пространство поиска и начать заново. В итоге вы проверите порядка 200 × 200 × 200 = 8 000 000 вариатнов, не найдя ничего подходящего.

Более интересный подход – переписать уравнение в следующем виде:

33 – (x3 + y3) = z3

Для каждой пары мы будем вычислять результат, а потом проверять список кубов, смотря, нет ли там нашего результата z3. Теперь, вместо того, чтобы перебирать все тройки (x, y, z), мы будем перебирать двойки (x, y). Если нет, мы продолжим искать. Если он есть, решение найдено. Вместо 8 000 000 троек мы теперь ищем среди 200 × 200 = 40 000 пар. Это значительно уменьшает пространство поиска. Серьёзная экономия, однако всё равно недостаточно для того, чтобы сделать задачу вычислительно доступной.

Ещё более удобный подход — переписать уравнение в следующем виде:

33 – z3 = x3 + y3

Выражение x3 + y3 всегда можно разложить так: Теперь мы перебираем z, а для каждого вычисленного z мы используем хитрый фокус из курса математики.

x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)

Чтобы проверить её, просто перемножим правую часть, пользуясь правилом дистрибутивности: Это формула для суммы кубов.

(x + y)(x2 – xy + y2) = x3 – x2y + xy2 + yx2 – xy2 + y3 = x3 + y3

Подсчитав 33 – z3, мы раскладываем её на произведение простых чисел, с чем хорошо справляются компьютеры, по крайней мере, в интересующем нас числовом диапазоне. Как это помогает нам в поисках? Если да, мы нашли решение. Разложив 33 – z3 на множители, мы проверяем, можно ли составить эти множители в виде (x + y)(x2 – xy + y2).

Мы подсчитываем 34 – z3 = 34 – (-6)3 = 34 – (-216) = 34 + 216 = 250, и теперь разложим 250. Допустим, к примеру, что мы пытаемся записать 34 как сумму трёх кубов, и наши поиски привели нас к z = -6.

А это именно (x + y)(x2 – xy + y2) для x = 5 и y = 5, так что тройка (x, y, z) = (5, 5, -6) должна сработать для 34. Изучив вопрос, мы понимаем, что можем записать 250 = 10 × 25 = (5+5)(52 – 5 × 5 + 5²). И, конечно же, 34 = 53 + 53 + (-6) 3, и мы успешно обнаружили три куба, сумма которых даёт 34.

Дополнительную работу составляют разложение на множители и проверка, но в целом поисковая эффективность серьёзно растёт. Такой метод позволяет вместо 2003 = 8 000 000 троек или даже 2002 = 40 000 пар исследовать 200 возможных вариантов z. И всё равно пространство поисков, изученное в поисках суммы кубов, дающих такое число, как 33, настолько огромно, что даже такие улучшения не могут помочь суперкомпьютерам близко подступиться к этой задаче.

Он разработал некоторые дополнительные техники, используя алгебру и теорию чисел, для ещё более сильного улучшения поисковой эффективности. Тут на сцену и вышел Эндрю Букер. Напустив суперкомпьютер своего университета на эту задачу, через три недели он получил впервые найденное представление числа 33 как суммы трёх кубов:

33 = 8 866 128 975 287 5283 + (−8 778 405 442 862 239)3 + (−2 736 111 468 807 040)3

Решив эту задачу, перед тем, как перейти к числу 3, Букер и Сазерленд решили такую же задачу для числа 42:

42 = (−80 538 738 812 075 974)3 + 80 435 758 145 817 5153 + 12 602 123 297 335 6313

Возможно ещё более удивительным будет то, что этому могут помочь такие абстрактные вещи из школьной математики, как формула для суммы кубов. Вас может удивить, что спустя тысячи лет, мы ещё можем узнать что-то новое о таких числах, как 3, 33 и 42. Так что следите за числом 114 – самым маленьким из чисел на сегодня, для которого пока ещё не найдена сумма из трёх кубов. Однако так работает математика, и поэтому мы продолжаем наши изыскания. У меня есть ощущение, что для Эндрю Букера и других математиков поиск уже начался.

Теги
Показать больше

Похожие статьи

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Проверьте также

Закрыть
Кнопка «Наверх»
Закрыть