Главная » Хабрахабр » [Перевод] Какие свидетельства могут убедить математиков, если строгого доказательства нет?

[Перевод] Какие свидетельства могут убедить математиков, если строгого доказательства нет?

Новая статистическая модель, кажется, подрывает давно принятые предположения из теории чисел. Насколько ей можно доверять, если на самом деле имеет значение только строгое доказательство?

Your browser does not support HTML5 video.

Какие точки на эллиптической кривой y2 = x3 – 4x + 1 рациональные? Чтобы их найти, нужно провести прямые через пары рациональных точек. Все точки, через которые проходят прямые, также будут рациональными.

Они использовали данные вычислений, позволяющие предположить, что преобладающее несколько десятилетий мнение об одной из фундаментальных концепций было ошибочным. Недавно четверо исследователей придумали модель, переворачивающую с ног на голову весь здравый смысл их области исследований.

В их научной области эмпирические модели не имеют права голоса касательно истины. И это не биологи, климатологи или физики. И всё же вот они, со своей моделью, говорящей, что, вероятно, пришло время пересмотреть некоторые давнишние представления.
Модель, опубликованная в онлайне в 2016 году, и готовая появиться в журнале Journal of the European Mathematical Society, относится к такой почтенной математической концепции, как ранг алгебраического уравнения. Они – математики, представители дисциплины, чья стандартная валюта – неоспоримое логичное доказательство – обычно избавляет их от дебатов, поражающих другие области. У уравнений высокого ранга наборов рациональных решений больше, и они сложнее. Ранг – это мера, соответствующая тому, какое количество решений уравнения относится к рациональным числам, а какое – к иррациональным.

Сначала почти все думали, что ограничение должно существовать. С начала XX века математиков интересовал вопрос, есть ли ограничения высоты ранга уравнения. Так оно и повелось, хотя некоторые математики считали, что в поддержку этому мнению нет сильных аргументов. Но к 1970-м преобладающее мнение изменилось – большинство математиков стало считать, что ранг ничем не ограничен, что означает, что можно обнаружить кривые с бесконечно большими рангами.

Однако, когда начинаешь разбираться, оказывается, что свидетельства этому крайне слабые», — сказал Эндрю Грэнвиль, математик из Монреальского университета и Университетского колледжа в Лондоне. «Люди очень авторитарно заявляли об отсутствии ограничений.

Спустя два года после появления модели она убедила многих математиков в том, что ранг алгебраических уравнений определённого типа действительно ограничен. Сегодня свидетельства говорят об обратном. Отсутствие согласия поднимает вопросы, не часто касающиеся математических результатов – какой вес может иметь эмпирическое доказательство в области, в которой имеет значение лишь строгое доказательство? Однако не всем эта модель кажется убедительной.

«Кроме того, что с экспериментальной точки зрения много чего срабатывает». «Не существует математического оправдания тому, что эта модель – именно то, что нам надо», — сказала Дженнифер Парк, математик из Университета Огайо, соавтор работы.

От точки к точке

Если вам дадут уравнение, можно нарисовать на графике кривую его решений. Математики хотят знать, сколько из этих решений рациональны – принадлежат к типу чисел, которые можно выразить в качестве отношения двух целых чисел (1/2, -3 или 4483/929).

Возьмём уравнение x2 + y2 = 1. Рациональные решения тяжело находить систематически, но у математиков есть техники, работающие в определённых условиях. Чтобы найти все рациональные точки окружности, начнём с одного определённого решения – допустим, с точки, в которой x=1 и y=0. График решений этого уравнения представляет собой окружность. Если наклон нашей прямой рационален, тогда вторая точка пересечения также окажется рациональным решением. Затем проведём через эту точку линию, пересекающую окружность в одной другой точке. Рисуя линию, мы повысили число рациональных решений с одного до двух.

Повторим процедуру, проведя прямую с другим рациональным уклоном через вторую рациональную точку – она пересечёт окружность в третьей рациональной точке. И незачем на этом останавливаться. Продолжая так до бесконечности, мы в итоге найдём все рациональные точки окружности, коих бесконечное число.

Количество рациональных решений, которое необходимо знать в начале для того, чтобы обнаружить все остальные, известно, как ранг кривой. И в случае с окружностью начать нужно лишь с одной точки, и можно найти их все. «Это вроде как наилучший способ описания рациональных решений этих кривых», — сказал Бьорн Пуунен, математик из MIT, соавтор модели, совместно с Парком, Джоном Войтом из Дартмутского колледжа и Мелани Матчет Вуд из Висконсинского университета. Ранг – аккуратный способ описания бесконечного набора рациональных решений одним числом.

Уже больше ста лет математики знают, как находить рациональные решения уравнений второй степени. Окружность – это квадратичное уравнение, или уравнение второй степени («степень» обозначает величину самой большой из степеней членов уравнения).

Эллиптические кривые существуют в наиболее привлекательной области математических исследований. Следующий тип уравнений – это эллиптические кривые, в которых присутствуют переменные, возведённые в третью степень. Изменённая процедура рисования прямых всё ещё применима к эллиптическим кривым, но перестаёт работать с уравнениями четвёртого порядка и выше. Они сложнее уравнений второго порядка, поэтому их интересно изучать, но они не слишком сложные.

С некоторыми эллиптическими кривыми можно начать с одной рациональной точки, применить процедуру рисования прямых и не найти все рациональные решения. Эллиптические кривые бывают разных рангов. С ней вы начнёте новую процедуру рисования прямых, и найдёте баланс рациональных точек. Вам, возможно, придётся добавить вторую рациональную точку, не связанную с первой. Кривая, для нахождения всех рациональных точек которой вам надо изначально знать две рациональные точки, имеет ранг, равный двум.

Чем выше ранг уравнения, тем обширнее и сложнее набор рациональных решений кривой. Не существует доказанного ограничения высоты ранга эллиптической кривой. «Ранг каким-то образом измеряет сложность набора решений», — сказал Пуунен.

Если вам дадут эллиптическую кривую, у неё не будет очевидного взаимоотношения между тем, как она выглядит, и тем, каков её ранг. И всё же ранг ускользает от попыток математиков описать его теорией. – Можно изменить коэффициент на единицу, и ранг прыгнет на миллион. «Если у меня есть эллиптическая кривая, и я немного подстраиваю коэффициенты, то её ранг радикально меняется, — сказал Парк. Никто не знает, как ранги себя ведут».

«Точка зрения такова, что ограничений у ранга нет, поскольку люди всё время находили всё большие и большие ранги», — сказал Грэнвиль. Отсутствие общей теории принудило математиков отступить к тому небольшому набору свидетельств, которое у них имеется, чтобы высказывать догадки по поводу наличия ограничения на ранг. Текущий рекордсмен – эллиптическая кривая ранга 28, обнаруженная в 2006 году Ноамом Элкисом, математиком из Гарвардского университета.

Но затем появилась эта новая модель, и заявила, что практически наверняка это и есть конец пути.

Сюрприз на отметке в 21

Для изучения явлений слишком сложных или недоступных для прямого исследования учёные используют модели. Создав в лаборатории аналог чёрной дыры, у них может получиться узнать что-то о том, как ведут себя реальные чёрные дыры, без необходимости ходить по краю горизонта событий.

Хороший пример – изучение простых чисел. Математики делают то же самое. Исчерпывающий ответ выходит за пределы их знаний, но они создали модели, предсказывающие частоту появления чисел-близнецов – и ответ, судя по всему, состоит в том, что они встречаются бесконечное количество раз. Математикам хочется узнать ответ на вопрос о простых числах-близнецах – существует ли бесконечное множество пар простых чисел, отличающихся на 2 (3 и 5, 11 и 13).

Она исследует такой математический объект, как ядро матрицы. Новая модель не изучает непосредственно сами эллиптические кривые. В частности у ядер есть своя версия ранга. Ядра относятся к эллиптическим кривым, как мыши к людям – не одно и то же, но их легче изучать, и можно надеяться, что они достаточно близки для того, чтобы можно было делать выводы об одних на основе экспериментов над другими. По сути, они ставили на то, что распределение рангов ядер и эллиптических кривых похожи друг на друга. Изучив распределение рангов ядер – у скольких ядер ранг равен 1, у скольких он равен 2, и так далее – четыре математика надеялись получить представление о распределении рангов у эллиптических кривых.


Дженнифер Парк, Бьорн Пуунен и Мелани Вуд

– Мы надеемся, что, возможно, существует ещё один набор математических объектов, гораздо более понятный, и обладающий тем же распределением рангов, что и эллиптические кривые». «Тут вступает в игру прыжок веры, — сказал Парк.

Однако модель поведала иную историю. Когда четверо исследователей проделывали эту работу, большая часть математиков считала ранг неограниченным. А если их конечное количество, то у одной из них ранг будет наивысшим – что будет означать, что у ранга всё же есть верхняя граница. Она говорит о том, что существует лишь конечное число эллиптических кривых с рангом более 21. Когда четверо математиков увидели это, они поняли, что у них есть живой результат на руках.

– Никто не верил, что у рангов может быть ограничение». «Это предсказание не совпадало с тем, во что все верили, по крайней мере, в чём они публично признавались, — сказала Вуд.

Однако довольно много свидетельств говорит в пользу этого результата. Если для веры в модель требуется довольно серьёзный шаг, то когда модель сообщает о том, что здравый смысл был неправ, требуется шаг ещё больший. Те модели выдержали испытание временем; некоторые из них предсказаний даже были доказаны. Эта модель основана на предыдущих моделях, созданных другими математиками, изучавшими разные свойства эллиптических кривых.

– Вопрос состоял в том, как обогатить существующие модели, в которые люди уже верят». «Никто не предлагал начать с нуля и сделать новую модель, — сказала Вуд.

За десять лет до этого Грэнвиль создал другую модель, из которой также следовало, что должно существовать лишь ограниченное количество эллиптических кривых с рангом выше 21. Ещё одна причина верить в модель состояла в том, что величина ранга в 21 не кажется какой-то произвольной границей. Модель Грэнвиля вообще не была похожа на текущую – и то, что обе они выдали ранг 21 как значимый, был очень не похож на простое совпадение с точки зрения многих математиков.

«У нас есть две совершено разные эвристические модели и обе выдали одно и то же число, 21 – это удивило людей», — сказал Парк.

Обобщённое заключение модели – существование конечного количества эллиптических кривых с рангом больше 21 – применимо ко всем эллиптическим кривым. Возможно, наиболее убедительной причиной того, что модель кажется достойной доверия, стал тот факт, что другие её предсказания почти точно совпали с доказанными свойствами эллиптических кривых. Модель также предсказала значения рангов для многих из этих семейств, и её предсказания были похожими, или даже точно совпадали с теми границами, которые математики уже определили. Однако у них есть определённые семейства, для многих из которых математики уже определили границы рангов.

– Люди скептически слушают мои доклады, но когда я упоминаю другие совпадения, они очень сильно удивляются этому». «Наши границы точно предсказали все те случаи, которые были изучены другими людьми, — сказал Парк.

Между свидетельствами и доказательством

У модели есть большая поддержка, но не все ей верят, и она может оказаться неверной. Самый главный скептик – Ноам Элкис, гарвардский математик, поставивший рекорд ранга для эллиптической кривой. За десятилетия, прошедшие с тех пор, как он стал самым молодым штатным профессором Гарварда, он получил несколько результатов, указывающих на отсутствие границы ранга. «Моё мнение не менялось уже давно – я не считаю, что мы достаточно хорошо разбираемся в этом вопросе, чтобы поддерживать ту или иную гипотезу», — написал мне Элкис по почте.

Она учитывает случайно выбранные кривые, или кривые в каком-то смысле средние. Элкис считает, что модель может неверно сработать разными способами. «Эвристические модели, основанные на ожидаемом поведении случайных кривых, могут не рассказать всей истории по поводу экстремального поведения», — пишет Элкис. Однако есть свидетельства, включая и исследования самого Элкиса, о возможности существования семейств эллиптических кривых, в каждое из которых входит бесконечное количество таких кривых, чьё поведение значительно отличается от поведения типичных кривых.

«Я бы сказал, что отношусь к ограниченности рангов, как агностик», — сказала Вуд. Даже один из авторов модели не уверен в ней до конца. Но если модель не справится с задачей, то потому, что не учла какие-то скрытые и неожиданные свойства эллиптических кривых. Она признаёт, что модель может оказаться неверной по причинам, озвученным Элкисом. «Вопрос в следующем: если вы не верите в ограниченность рангов, в каком именно месте модель перестаёт работать?» – сказала Вуд.

Понятия не имею, существует ли такая причина, или нет», — сказал Александр Смит, аспирант из Гарварда, работающий с Элкисом и изучающий ранги эллиптических кривых. «Скорее всего, они окажутся правы, если кто-то не придумает какой-то хитроумной причины, по которой они ошибаются.

Они знают разницу между свидетельствами и доказательством, и понимают, что никакие горы первых не приведут к последнему. Авторы модели не возводят её значимость в догму. Но они считают, что их работа, по меньшей мере, даёт разумное основание для размышлений по поводу базовых математических концепций после столетия простых рассуждений.

Или, возможно, математики «должны пересмотреть своё мнение по поводу того, во что мы верили, как в народную гипотезу». «Возможно, поиски эллиптических кривых более высокого ранга служат своего рода вызовом для математиков», — сказал Парк.


Оставить комментарий

Ваш email нигде не будет показан
Обязательные для заполнения поля помечены *

*

x

Ещё Hi-Tech Интересное!

[Из песочницы] Контроллер, полегче! Выносим код в UIView

У вас большой UIViewController? У многих да. С одной стороны, в нём работа с данными, с другой — с интерфейсом. Они решают проблему потока данных, но не отвечают на вопрос как работать с интерфейсом: в одном месте остается создание элементов, лейаут, ...

Нужно больше разных Blur-ов

Размытие изображение посредством фильтра Gaussian Blur широко используется в самых разных задачах. Но иногда хочется чуть большего разнообразия, чем просто один фильтр на все случаи жизни, в котором регулировке поддаётся только один параметр — его размер. В этой статье мы ...