Хабрахабр

[Перевод] Из волшебной математической функции – одно решение, чтобы править ими всеми

А теперь они с соавторами доказали нечто ещё более удивительное: конфигурации, решающие задачу плотной упаковки сфер в упомянутых измерениях, также решают бесконечное число других задач, связанных с наилучшим расположением точек, пытающихся избежать друг друга. Три года назад Марина Вязовска из Швейцарского федерального технологического института в Лозанне поразила математиков, обнаружив самый плотный способ упаковки сфер одинакового размера в восьми- и 24-мерном пространствах (во втором случае – при помощи четырёх соавторов).

Или эти точки могут обозначать центры длинных, скрученных полимеров в растворе, пытающихся расположиться так, чтобы не сталкиваться с соседями. Точки, к примеру, могут обозначать бесконечный набор электронов, которые отталкивают друг друга и пытаются устроиться в конфигурации с наименьшей энергией. Математики считают, что в большинстве измерений это очень вряд ли будет так.
Но пространства, состоящие из 8 и 24 измерений, содержат особую, очень симметричную конфигурацию точек, которая, как нам теперь известно, одновременно решает все эти разные задачи. Вариантов подобных проблем есть множество, и совершенно неочевидно, что у всех их должно быть одно и то же решение. На языке математики две эти конфигурации называются «универсально оптимальными».

«Фейерверк не прекращался», — сказал Томас Хейлс, математик из Питтсбургского университета, доказавший в 1998 году, что всем известное пирамидальное расположение апельсинов является самым плотным способом упаковки сфер в трёхмерном пространстве. Это новое масштабное открытие серьёзно обобщает предыдущую работу Вязовской и её коллег.

На двумерной плоскости есть свой кандидат для универсальной оптимальности – сетка из равносторонних треугольников – но нет доказательства. Восемь и 24 присоединяются к одному измерению в небольшом списке измерений, содержащих универсально оптимальные конфигурации. В трёхмерном мире царит полный зоопарк: разные конфигурации точек показывают разные результаты в разных обстоятельствах, а для некоторых задач у математиков даже нет сносных догадок по поводу наилучшей конфигурации.

«Не знаю, почему математическая вселенная так устроена». «Изменяете измерение, или немного изменяете задачу, и ситуация становится непонятной», — сказал Ричард Шварц, математик из университета Брауна в Провиденс.

В частности потому, что универсальная оптимальность включает в себя бесконечное число различных задач сразу, но ещё и потому, что эти задачи сами по себе сложнее. Доказать универсальную оптимальность гораздо сложнее, чем решить проблему упаковки сфер. «Даже в свете ранней работы, я не ожидал, что это универсально оптимальное доказательство можно проделать», — сказал Хейлс. В упаковке сфер каждую сферу волнуют только её ближайшие соседи, но в задаче типа распределения электронов каждый из электронов взаимодействует со всеми остальными, вне зависимости от расстояния между ними.

– Эта штука находится на одном уровне с крупными математическими прорывами XIX века». «Это очень, очень впечатляет, — сказала Сильвия Серфати, математик из Нью-Йоркского университета.

Волшебный сертификат

Может показаться странным, что измерения 8 и 24 должны вести себя не так, как, скажем, измерения 7, 18 или 25. Но математикам давно известно, что плотная упаковка объектов в пространстве работает по-разному в разных измерениях. К примеру, рассмотрим многомерную сферу, определённую просто как набор точек, расположенных на фиксированном расстоянии от центра. Если сравнить объём сферы с объёмом наименьшего описывающего её куба, то чем выше измерение, тем меньшую часть куба занимает сфера. Если бы вы захотели отправить по почте восьмимерный футбольный мяч в наименьшей возможной коробке, то мяч занял бы меньше 2% от объёма коробки – а всё остальное было бы паразитным пустым пространством.

Дойдя до восьмого измерения, мы внезапно сталкиваемся с тем, что в этих промежутках появляется достаточно места, чтобы втиснуть туда сферы. В каждом измерении большем трёх возможно создать конфигурацию, аналогичную пирамиде из апельсинов, и с увеличением измерений разрывы между сферами растут. В 24-м измерении сходным образом возникает решётка Лича, когда можно запихнуть дополнительные сферы в промежутки, создав таким образом ещё одну известную конструкцию по упаковке сфер. В итоге получается крайне симметричная конфигурация под названием решётка E8.

«Мне неизвестна одна причина всего этого», — сказал Генри Кон из института Microsoft Research New England в Кембридже, Массачусетс, один из пяти авторов работы. По причинам, не полностью понятным математикам, две этих решётки неожиданно возникают то в одной области математики, то в другой, от теории чисел и матанализа до математической физики.

Затем в 2016-м Вязовска сделала первый шаг к этому, доказав, что две эти решётки – наилучшие способы упаковки сфер. Более десяти лет у математиков имелись убедительные численные свидетельства того, что E8 и решётка Лича являются универсально оптимальными в своих измерениях – но до недавнего времени они понятия не имели, как это доказать.

Суть её аргументов связана с определением «волшебной» функции (как математики теперь её называют), которая выдаёт то, что Хейлс назвал «сертификатом» для E8 на наилучшую упаковку сфер – это доказательство сложно добыть, но после его появления оно обладает мгновенной убедительностью. И если доказательство Хейлса для трёхмерного случая растягивается на сотни страниц и требует затратных вычислений на компьютере, доказательство от Вязовской для случая E8 умещается на 23-х страницах. Однако осознав, что этот многочлен эквивалентен (x – 3)2, вы бы сразу поняли, что ответ – «нет», ибо квадрат вещественного числа не может быть отрицательным. К примеру, если бы кто-нибудь спросил вас, есть ли такое вещественное число x, при котором многочлен x2 – 6x + 9 становится отрицательным, вы бы могли задуматься над ответом.

Задача упаковки сфер касается только взаимодействия близлежащих точек, но подход Вязовской, казалось, может работать и для дальних взаимодействий, как в случае с удалёнными электронами. Метод поиска волшебной функции Вязовской оказался мощным – и чуть ли не слишком мощным.

Неопределённость в высших измерениях

Чтобы показать, что конфигурация точек в пространстве универсально оптимальна, сначала необходимо определить эту универсальность. Не существует конфигурации точек, оптимальной для любой цели: к примеру, когда на точки действует сила притяжения, конфигурацией с наименьшей энергией будет не какая-нибудь решётка, а массивная кучка, в которой все точки находятся в одном месте.

Конкретнее, они рассматривали монотонные силы, то есть, такие, у которых отталкивание становится сильнее при сближении точек. Вязовска, Кон и их коллеги ограничили область изучения универсальностью отталкивающих сил. Сюда входят степенные законы Вселенной – включая закон Кулона для электрически заряженных частиц, и гауссианы, функции с графиками в виде колокола, описывающие поведение сущностей со множеством независимых отталкивающихся частей, как, например, длинные полимеры. В эту обширную семью входят многие распространённые силы физического мира. Задача упаковки сфер находится на внешнем крае этой вселенной: требование о том, чтобы сферы не пересекались, превращается в бесконечно сильное отталкивание в случае, когда расстояние между их центрами оказываются меньше их диаметра.

В 2006 году Кон и Кумар разработали метод нахождения меньшей границы энергии основного состояния через сравнение функции, описывающей энергию, с меньшими «вспомогательными» функциями с очень удобными свойствами. Для любой их этих монотонных сил возникает вопрос – какой будет конфигурация с наименьшей энергией – «основное состояние» – для бесконечного набора частиц? Они обнаружили бесконечный запас вспомогательных функций для каждого измерения, но не знали, как найти лучшую вспомогательную функцию.


Пятеро авторов новой работы: Генри Кон, Абхинав Кумар, Марина Вязовска, Стивен Миллер и Данило Радченко

Но в измерениях 8 и 24 границы подошли потрясающе близко к энергии E8 и решётке Лича для каждой отталкивающей силы, на которой Кон и Кумар опробовали свой метод. В большинстве измерений обнаруженные Коном и Кумаром численные ограничения мало напоминают энергию наилучшей конфигурации из возможных. Для задачи упаковки сфер именно это сделала Вязовска три года назад: она обнаружила идеальную, «волшебную» вспомогательную функцию, изучая класс функций под названием модулярные функции, чьи особые свойства симметрии столетия назад сделали их объектом изучения. Естественно было задуматься о том, не существует ли для любой отталкивающей силы некоей идеальной вспомогательной функции, которая дала бы границу, точно совпадающую с энергией E8 или решёткой Лича.

Чего они не знали, так это то, существует ли такая функция. Когда речь заходила о других задачах с отталкивающимися точками, например, о задаче с электронами, исследователи знали, каким свойствам должна удовлетворять любая волшебная функция: в определённых точках она должна принимать особые значения, а её преобразование Фурье – измеряющее естественные частоты функции – должно было принимать особые значения в других точках.

«Когда вы начинаете заставлять что-то делать одну из них, другая делает нечто совершенно отличное от ваших желаний», — сказал Кон. Обычно довольно просто сконструировать функцию, которая делает то, что вам нужно, в ваших любимых точках, но удивительно сложно контролировать одновременно и функцию, и её преобразование Фурье.

Принцип неопределённости Гейзенберга – утверждающий, что чем больше вы знаете о местоположении частицы, тем меньше вы знаете о её импульсе, и наоборот – особый случай этого общего принципа, поскольку волна импульса частицы является преобразованием Фурье от её волны местоположения. На самом деле эта привередливость представляет собой не что иное, как замаскированный принцип неопределённости в физике.

Она подозревала, что если добавить ещё хоть сколько-нибудь ограничений, и такой функции уже не будет; если уменьшить ограничения, то таких функций может оказаться множество. В случае отталкивающей силы в измерениях 8 или 24 Вязовска выдвинула смелую гипотезу: ограничения, которые команда хотела наложить на их волшебную функцию и её преобразование Фурье, находятся точно на границе между возможным и невозможным. Она предположила, что в ситуации, интересовавшей команду, должна быть ровно одна подходящая функция.

– Она очень проницательная, а также очень смелая». «Думаю, это одна из прекрасных особенностей Марины, — сказал Кон.

Они не только показали, что для каждой отталкивающей силы существует ровно одна волшебная функция, но и дали рецепт её изготовления. В то время Кон оценивал это скептически – догадка Вязовской казалась слишком хорошей для того, чтобы быть правдой – но команда в итоге доказала её. «Это вроде как монументальный результат», — сказал Шварц. Как в случае с упаковкой сфер, эта конструкция сразу же дала сертификаты оптимальности для E8 и решётки Лича.

Треугольная решётка

Кроме разрешения задачи универсальной оптимальности, новое доказательство отвечает на актуальный вопрос, стоявший у математиков с тех пор, как Вязовска решила задачу упаковки сфер три года назад: откуда взялась её волшебная функция? «Думаю, многие были озадачены, — сказала Вязовска. – Они спрашивали: В чём смысл этого?»

«Теперь у неё есть много братишек и сестрёнок», — сказала Вязовска. В новой работе Вязовска и её коллеги показали, что волшебная функция упаковки сфер – первый в ряду строительных блоков модулярных форм, которые можно использовать для создания волшебных функций для каждой отталкивающей силы.

«В математике некоторых вещей приходится достигать через упорство и грубую силу, — сказал он. Кону всё ещё кажется чудесным то, что картинка так удачно сложилась. – А бывают времена, как сейчас, как будто математика хочет, чтобы что-то случилось».

Для математиков тот факт, что никто не смог дать доказательства в таких простых условиях, считается «страшным позором для всего сообщества», сказал Эдвард Сафф, математик из Университета Вандербильта в Нэшвилле. Следующий естественный вопрос – можно ли адаптировать эти методы к доказательству универсальной оптимальности для единственного из оставшихся кандидатов: решётки из равносторонних треугольников на двумерной плоскости.

Физики уже подразумевают оптимальность этой решётки в широком спектре контекстов на основе горы экспериментов и симуляций. В отличие от E8 и решётки Лича, двумерная треугольная решётка появляется в разных местах в природе, от структур сот до расположения воронок в сверхпроводниках. Но, говорит Кон, ни у кого нет концептуального объяснения того, почему треугольная решётка должна быть универсально оптимальной – того, что, будем надеяться, даст математическое доказательство.

Это явно говорит о том, что в двух измерениях должна существовать волшебная функция. Измерение 2 – единственное, за исключением 8 и 24, в котором хорошо работает числовая нижняя граница Кона и Кумара. Пока что это измерение «судя по всему, находится за пределами человеческих возможностей», — сказал Кон. Однако метод команды для конструирования волшебных функций вряд ли можно будет перенести в эту новую область: он сильно зависит от того, что числа, обозначающие расстояния между точками в E8 и решётке Лича особенно хорошо ведут себя, чего не происходит в двух измерениях.

Это, как сказал Шварц, «одна из лучших вещей, которые я, скорее всего, увижу за свою жизнь». Пока что математики празднуют своё новое прозрение, связанное со странными мирами 8- и 24-мерных пространств.

Теги
Показать больше

Похожие статьи

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Кнопка «Наверх»
Закрыть