Хабрахабр

[Перевод] Доказательство наличия мест, где симметрии не могут существовать

Крупным математическим достижением стало доказательство гипотезы Циммера, найденное небольшой командой исследователей


У решёток в высших измерениях симметрии не всегда можно перенести в измерения ниже рангом

В качестве президента Чикагского университета с 2006 года он попал в заголовки газет, находя девятизначные суммы для финансирования и публикуя статьи в поддержку свободы слова на кампусе. Успех Роберта Циммера можно определить по-разному. И спустя много времени после того, как он оставил серьёзные исследования, запущенный им исследовательский план, наконец, даёт свои результаты.
Год назад три математика доказали гипотезу Циммера, связанную с обстоятельствами, при которых геометрические пространства обладают симметриями определённого типа. Но до того, как стать президентом университета, он был математиком. Оно ставит точку в вопросе, вставшем перед Циммером в период его интенсивной умственной деятельности в конце 1970-х и начале 1980-х. Их доказательство стало одним из крупнейших математических достижений в последние годы.

«Я бы сказал, что лет пять ложился спать с мыслями об этой задаче, каждую ночь, так что я был ею одержим, и здорово наблюдать, как люди её решили», — сказал Циммер.

Это можно представить, изучая окружность, существующую на двумерной плоскости, и шар, простирающийся в три измерения: способов вращения шара существует больше, чем способов вращения окружности. Обычно, чем больше у геометрического пространства измерений, тем больше в нём может быть симметрий. Дополнительные измерения шара создают дополнительные симметрии.

Она задаёт вопрос, ограничивает ли измерение геометрического пространства применение симметрий этого типа. Гипотеза Циммера относится к симметриям особого вида, известным, как высокоранговые решётки. Таким образом, они доказали правильность гипотезы Циммера. Авторы новой работы – Аарон Браун и Себастьян Хуртадо-Салазар из Чикагского университета и Дэвид Фишер из Университета Индианы –показали, что при количестве измерений меньше определённого особых симметрий не наблюдается.


Роберт Циммер, ныне президент Чикагского университета, разработал гипотезу, названную в его честь, почти 40 лет назад

Она также открывает внутренние свойства геометрических пространств. Их работа отвечает на один важный и давно висевший вопрос, открывая новые способы исследования множества других. В новой работе говорится, что симметрии могут существовать в пространствах одного типа, и не могут – в других. Симметрия – одно из наиболее простых свойств подобных пространств. Это достижение было получено после десятилетий простоя.

«И они относительно просто уничтожили этот вопрос». «Гипотеза выглядела так, будто способна занять людей на очень долгое время», — сказал Эйми Вилкинсон, математик из Чикагского университета, организовавший в этом году конференцию, посвящённую этому доказательству.

Удовлетворяя симметриям

Симметрия – одна из первых геометрических концепций, с которой дети сталкиваются в математике. Собственноручно они узнают, что можно повернуть, перевернуть и сдвигать форму, и в итоге получить ту же самую форму, с которой начали. Сохранение формы объекта в результате изменений отзывается определённым внутренним удовлетворением – это намёк на наличие более глубокого порядка во Вселенной.

Он даёт им возможность в сжатых терминах рассуждать о различных симметриях, применимых в заданном геометрическом пространстве. У математиков есть свой формальный язык для изучения симметрии.

Окружность же можно повернуть на любое количество градусов; у неё бесконечное количество симметрий. У квадрата, к примеру, есть восемь симметрий – восемь способов перевернуть или повернуть его, снова получив квадрат. Математики собирают все симметрии данного геометрического объекта, или пространства, и упаковывают их в «группу».

Они часто появляются в результате изучения определённых геометрических пространств, но иногда появляются и в совершенно не связанном с геометрией контексте. Группы интересны сами по себе. К примеру, группы могут формировать числовые множества (к примеру, есть определённая симметрия в том, чтобы добавить 5 или отнять 5 от числа).

«Группа, в принципе, может появиться как симметрия совершенно разных вещей», — сказал Циммер.

Рассмотрим, к примеру, симметрию решёток. Существуют и более экзотические виды симметрии, чем те, что мы изучаем в школе. На плоскости решётку можно сдвигать вверх, вниз, влево, вправо на любое количество квадратов, и получить решётку, которая выглядит точно так же, как исходная. Простейшая решётка – это двумерная сетка. Пространства с решётками обладают бесконечным количеством различных симметрий решёток. Также можно отражать решётку через любое количество отдельных клеточек.

В трёхмерном пространстве решётка может состоять из кубов, а не из квадратов. Решётки могут существовать в любом количестве измерений. Интересующие гипотезу Циммера группы включают в себя решётки «высшего ранга», или решётки в определённых пространствах высших измерений. В четырёх и более измерениях представить решётку уже не получится, но работает она точно так же; математики могут описать её совершенно точно. – Мне кажется, что смотреть на неё было бы очень приятно». «Эта странная решётка была бы очень красивой, если бы её можно было увидеть, пусть мне это и не дано, — сказал Хуртадо-Салазар.

Открывая новые группы, логично задать вопрос – какого рода пространства обладают такими наборами симметрий? В XX-м веке математики обнаружили эти группы в различных условиях – не только в геометрии, но и в теории чисел, логике и информатике.

Можно довольно быстро понять, что группу симметрий окружности нельзя применить к квадрату. Иногда группы очевидно невозможно сопоставить пространству. Но смесь группы с бесконечным количеством симметрий и пространства со многими измерениями затрудняет определение применимости группы. Поверните квадрат на 10 градусов, и вы не получите исходный квадрат.

«При переходе к более сложным группа в большем количестве измерений, — сказал Циммер, — эти вопросы сильно усложняются».

Непрямая связь

Представляя себе симметрию, мы представляем вращение целиком формы – например, квадрат, повёрнутый на 90 градусов. Но на базовом уровне симметрия зависит от движущихся точек. Симметричное преобразование пространства означает, что нужно взять каждую его точку и передвинуть в какую-то другую точку. В этом смысле поворот квадрата на 90 градусов на самом деле означает, что надо взять каждую точку квадрата, и повернуть её на 90 градусов так, чтобы она оказалась не на том ребре, с которого начала.


Дэвид Фишер

Наиболее знакомые нам симметричные преобразования – отражение квадрата относительно диагонали или поворот его на 90 градусов – весьма строги. Задачу передвижения точек можно решить более или менее строго. Точки, бывшие до отражения вершинами, остаются вершинами и после (они просто становятся другими вершинами), а точки, составлявшие прямые рёбра, после отражения всё ещё составляют прямые рёбра (просто другие). Строги в том смысле, что они не перепутывают точки.

В таких преобразованиях точки сильнее меняют свою организацию; они не обязательно сохраняют свои прежние связи друг с другом после трансформации. Есть менее строгие, более гибкие виды симметричных преобразований, и именно они интересны в контексте гипотезы Циммера. Аарон Браун, соавтор доказательства, описал, как эти, более свободные виды преобразований, могли бы выглядеть в контексте мяча. К примеру, можно сдвинуть каждую точку квадрата на три единицы длины по периметру квадрата – это удовлетворяет базовым требованиям симметричного преобразования, то есть, просто сдвига каждой точки в пространстве на другое место.

Тогда расстояния между точками увеличатся», — сказал Браун. «Можно взять северный и южный полюса и перекрутить их в противоположных направлениях.

Такие преобразования менее строги, и называются диффеоморфизмами. В случае сетки, вместо простого сдвига её по плоскости, вы можете искривить её, растянуть в одних местах и сжать в других, так, что преобразованная сетка уже не накладывается на исходную.

Особые решётки высшего ранга, имеющие отношение к этой гипотезе, впервые изучал в 1960-х Григорий Александрович Маргулис, получивший за свою работу Филдсовскую премию. У Циммера были уважительные причины использовать эту, менее строгую версию симметрии в своей гипотезе. Маргулис составил полное описание того, пространства какого рода можно преобразовывать при помощи этих решёток высшего ранга, если разрешить только строгие преобразования.

Она начинается со списка пространств, на которых могут работать решётки высшего ранга – этот список обнаружил Маргулис – и спрашивает, расширяется ли этот лист, если позволить решёткам менее строгие трансформации. Гипотеза Циммера стала естественным продолжением работы Маргулиса.

Даже если позволить решёткам весьма нерегулярные преобразования – сдвигаться, изгибаться, растягиваться – решётки всё равно имеют жёсткое ограничение области действия. В новой работе три математика доказали, что ослабление определения симметрии не меняет область применения симметрий решёток высшего ранга.

Поэтому оказывается удивительным, что на самом деле ответ будет „нет“ – в некоторых случаях не могут», — сказал Фишер. «После добавления такой гибкости в условие задачи, интуитивно, конечно, кажется, что решётки смогут действовать шире.

В целом они показали, что чем выше ранг решётки, тем больше измерениё надо пространству, способному её вместить. Математики установили точные соответствия между размерностью пространства и размерностью, или рангом, решёток, для решёток, способных играть роль симметрии в данном пространстве. Даже имея значительную гибкость в деле преобразования пространства, преобразования высокоранговых решёток ограничены высшими измерениями.

«Это говорит о том, что существует нечто весьма фундаментальное в строении пространств, из чего следует их возможность вмещать подобные преобразования», — сказал Уилкинсон.

Разобравшись с ней, соавторы работы наложили грубое ограничение на пространства, в которых можно преобразовывать высокоранговые решётки. Гипотеза Циммера – всего лишь первый шаг к более крупной программе. Следующей, более амбициозной фазой работы будет концентрация на тех пространствах, в которых могут существовать решётки – а потом и классификация всех разных способов преобразования решётками этих пространств.

Есть много интересных вопросов за пределами простого установления факта существования определённых мест, в которых решётки не могут действовать», — сказал Циммер. «В итоге программа должна суметь классифицировать все эти способы.

Теги
Показать больше

Похожие статьи

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Кнопка «Наверх»
Закрыть