Хабрахабр

[Из песочницы] Обнаружение столкновений и теорема о разделяющей оси

В наше время компьютеры представляют собой мощные вычислительные машины,
способные выполнять миллионы операций в секунду. И естественно не обойтись без симуляции реального или игрового мира. Одна из задач компьютерного моделирования и симуляции состоит в определении столкновения двух объектов, одно из решений которой реализуется теоремой о разделяющей оси.


Примечание. В статье будет приведен пример с 2 параллелепипедами(далее — кубы), но идея для других выпуклых объектов будет сохранена.
Примечание. Вся реализация будет выполнена в Unity.

Акт 0. Общая теория

Для начала нужно познакомиться с "теоремой о разделяющей гиперплоскости".Именно она будет лежать в основе алгоритма.

Теорема. Две выпуклые геометрии не пересекаются, тогда и только тогда, когда между ними существует гиперплоскость, которая их разделяет. Ось ортогональная разделяющей
гиперплоскости называется разделяющей осью, а проекции фигур на нее не пересекаются.


Разделяющая ось (двумерный случай)


Разделяющая ось (трехмерный случай)
Можно заметить, что проекции на разделяющую ось не пересекаются.

Свойство. Потенциальная разделяющая ось будет находиться в следующих множествах:

  • Нормы плоскостей каждого куба(красные)
  • Векторное произведение ребер кубов $\{[\vec{x},\vec{y}] : x∈X, y∈Y\}$,

   где X — ребра первого куба (зеленые), а Y — второго (синие).

Каждый куб мы можем описать следующими входными данными:

  • Координаты центра куба
  • Размеры куба (высота, ширина, глубина)
  • Кватернион куба

Создадим для этого дополнительный класс, экземпляры которого будут предоставлять информацию о кубе.

public class Box{ public Vector3 Center; public Vector3 Size; public Quaternion Quaternion; public Box(Vector3 center, Vector3 size, Quaternion quaternion) { this.Center = center; this.Size = size; this.Quaternion = quaternion; } // дополнительный конструктор, который // позволяет сгенерировать объект на основе GameObject public Box(GameObject obj) { Center = obj.transform.position; Size = obj.transform.lossyScale; Quaternion = obj.transform.rotation; } }

Акт 1. Кватернионы

Как часто бывает, объект может вращаться в пространстве. Для того, чтобы найти координаты вершин, с учетом вращения куба, необходимо понять, что такое кватернион.

Кватернион — это гиперкомплексное число, которое определяет вращение объекта в пространстве.

$w+xi+yj+zk$

Мнимая часть(x,y,z) представляет вектор, который определяет направление вращения
Вещественная часть(w) определяет угол, на который будет совершено вращение.

Его основное отличие от всем привычных углов Эйлера в том, что нам достаточно иметь один вектор, который будет определять направление вращения, чем три линейно независимых вектора, которые вращают объект в 3 подпространствах.

Рекомендую две статьи, в которых подробно рассказывается о кватернионах:

Раз
Два

Теперь, когда у нас есть минимальные представления о кватернионах, давайте поймем, как вращать вектор, и опишем функцию вращение вектора кватернионом.

Формула вращения вектора

$\vec{v}' = q * \vec{v} * \overline{q}$

$\vec{v}'$ — искомый вектор
$\vec{v}$ — исходный вектор
$q$ — кватернион
$\overline{q}$ — обратный кватернион

Для начала, дадим понятие обратного кватерниона в ортонормированном базисе — это кватернион с противоположной по знаку мнимой частью.

$q = w+xi+yj+zk$
$\overline{q} = w-xi-yj-zk$

Посчитаем $\vec{v} * \overline{q}$

$ M = \vec{v}*\overline{q} = (0 + v_xi + v_yj + v_zk)(q_w - q_xi - q_yj - q_zk) = $
$=\color{red}{v_xq_wi} + \color{purple}{v_xq_x} - \color{blue}{v_xq_yk} + \color{green}{v_xq_zj} +$
$+\color{green}{v_yq_wj} + \color{blue}{v_yq_xk} + \color{purple}{v_yq_y} - \color{red}{v_yq_zi} +$
$+\color{blue}{v_zq_wk} - \color{green}{v_zq_xj} + \color{red}{v_zq_yi} + \color{purple}{v_zq_z}$

Теперь выпишем отдельные компоненты и из этого произведения соберем новый кватернион
$M = u_w+u_xi+u_yj+u_zk$
$u_w = \color{purple}{v_xq_x + v_yq_y + v_zq_z}$
$u_xi = \color{red}{(v_xq_w - v_yq_z + v_zq_y)i}$
$u_yj = \color{green}{(v_xq_z + v_yq_w - v_zq_x)j}$
$u_zk = \color{blue}{(-v_xq_y + v_yq_x + v_zq_w)k}$

Посчитаем оставшуюся часть, т.е. $ q*M $ и получим искомый вектор.

Примечание. Чтобы не загромождать вычисления, приведем только мнимую(векторную) часть этого произведения. Ведь именно она характеризует искомый вектор.

$\vec{v}' = q*M = (q_w + q_xi + q_yj + q_zk)(u_w + u_xi + u_yj + u_zk) =$
$= \color{red}{q_wu_xi} + \color{green}{q_wu_yj} + \color{blue}{q_wu_zk} + $
$ +\color{red}{q_xu_wi} + \color{blue}{q_xu_yk} - \color{green}{q_xu_zj} +$
$+\color{green}{q_yu_wj} - \color{blue}{q_yu_xk} + \color{red}{q_yu_zi} +$
$+\color{blue}{q_zu_wk} +\color{green}{q_zu_xj} -\color{red}{q_zu_yi}$

Соберем компоненты вектора

$v_x' = \color{red}{q_wu_x + q_xu_w + q_yu_z - q_zu_y}$
$v_y' = \color{green}{q_wu_y - q_xu_z + q_yu_w + q_zu_x}$
$v_z' = \color{blue}{q_wu_z + q_xu_y - q_yu_x + q_zu_w}$

$v' = (v_x', v_y', v_z')$
Таким образом необходимый вектор получен

Напишем код:

private static Vector3 QuanRotation(Vector3 v,Quaternion q){ float u0 = v.x * q.x + v.y * q.y + v.z * q.z; float u1 = v.x * q.w - v.y * q.z + v.z * q.y; float u2 = v.x * q.z + v.y * q.w - v.z * q.x; float u3 = -v.x * q.y + v.y * q.x + v.z * q.w; Quaternion M = new Quaternion(u1,u2,u3,u0); Vector3 resultVector; resultVector.x = q.w * M.x + q.x * M.w + q.y * M.z - q.z * M.y; resultVector.y = q.w * M.y - q.x * M.z + q.y * M.w + q.z * M.x; resultVector.z = q.w * M.z + q.x * M.y - q.y * M.x + q.z * M.w; return resultVector;}

Акт 2. Нахождение вершин куба

Зная как вращать вектор кватернионом, не составит труда найти все вершины куба.

Перейдем к функцию нахождении вершин куба. Определим базовые переменные.

private static Vector3[] GetPoint(Box box){ //Тут будут храниться координаты вершин Vector3[] point = new Vector3[8]; //получаем координаты //.... return point;}

Далее необходимо найти такую точку(опорную точку), от которой будет легче всего найти другие вершины.

Из центра покоординатно вычитаем половину размерности куба.Потом к опорной точке прибавляем по одной размерности куба.

//... //первые четыре вершины point[0] = box.Center - box.Size/2; point[1] = point[0] + new Vector3(box.Size.x , 0, 0); point[2] = point[0] + new Vector3(0, box.Size.y, 0); point[3] = point[0] + new Vector3(0, 0, box.Size.z); //таким же образом находим оставшееся точки point[4] = box.Center + box.Size / 2; point[5] = point[4] - new Vector3(box.Size.x, 0, 0); point[6] = point[4] - new Vector3(0, box.Size.y, 0); point[7] = point[4] - new Vector3(0, 0, box.Size.z);//...


Можем видеть, как сформированы точки

После нахождения координат вершин, необходимо повернуть каждый вектор на соответствующий кватернион.

//... for (int i = 0; i < 8; i++) { point[i] -= box.Center;//перенос центра в начало координат point[i] = QuanRotation(point[i], box.Quaternion);//поворот point[i] += box.Center;//обратный перенос } //...

полный код получения вершин

private static Vector3[] GetPoint(Box box){ Vector3[] point = new Vector3[8]; //получаем координаты вершин point[0] = box.Center - box.Size/2; point[1] = point[0] + new Vector3(box.Size.x , 0, 0); point[2] = point[0] + new Vector3(0, box.Size.y, 0); point[3] = point[0] + new Vector3(0, 0, box.Size.z); //таким же образом находим оставшееся точки point[4] = box.Center + box.Size / 2; point[5] = point[4] - new Vector3(box.Size.x, 0, 0); point[6] = point[4] - new Vector3(0, box.Size.y, 0); point[7] = point[4] - new Vector3(0, 0, box.Size.z); //поворачиваем вершины кватернионом for (int i = 0; i < 8; i++) { point[i] -= box.Center;//перенос центра в начало координат point[i] = QuanRotation(point[i], box.Quaternion);//поворот point[i] += box.Center;//обратный перенос } return point;}

Перейдем к проекциям.

Акт 3. Поиск разделяющих осей

Следующим шагом необходимо найти множество осей, претендующих на разделяющую.
Вспомним, что ее можно найти в следующих множествах:

  • Нормали плоскостей каждого куба(красные)
  • Векторное произведение ребер кубов $\{[\vec{x},\vec{y}[ : x∈X, y∈Y\}$, где X — ребра первого куба (зеленые), а Y — второго (синие).

Для того, чтобы получить необходимые оси, достаточно иметь четыре вершины куба, которые формируют ортогональную систему векторов. Эти вершины находятся в первых четырех ячейках массива точек, которые мы сформировали во втором акте.

Необходимо найти нормали плоскостей, порожденные векторами:

Для этого надо перебрать пары ребер куба так, чтобы каждая новая выборка образовывала плоскость, ортогональную всем предыдущим полученным плоскостям. Для меня невероятно тяжело было объяснить как это работает, поэтому я предоставил два варианта кода, которые помогут понять.

такой код позволяет получить эти вектора и найти нормали к плоскостям для двух кубов(понятный вариант)

private static List<Vector3> GetAxis(Vector3[] a, Vector3[] b){ //ребра Vector3 A; Vector3 B; //потенциальные разделяющие оси List<Vector3> Axis = new List<Vector3>(); //нормали плоскостей первого куба A = a[1] - a[0]; B = a[2] - a[0]; Axis.Add(Vector3.Cross(A,B).normalized); A = a[2] - a[0]; B = a[3] - a[0]; Axis.Add(Vector3.Cross(A,B).normalized); A = a[1] - a[0]; B = a[3] - a[0]; Axis.Add(Vector3.Cross(A,B).normalized); //нормали второго куба A = b[1] - b[0]; B = b[2] - b[0]; Axis.Add(Vector3.Cross(A,B).normalized); A = b[1] - b[0]; B = b[3] - b[0]; Axis.Add(Vector3.Cross(A,B).normalized); A = b[2] - b[0]; B = b[3] - b[0]; Axis.Add(Vector3.Cross(A,B).normalized); //...}

Но можно сделать проще:

private static List<Vector3> GetAxis(Vector3[] a, Vector3[] b){ //ребра Vector3 A; Vector3 B; //потенциальные разделяющие оси List<Vector3> Axis = new List<Vector3>(); //нормали плоскостей первого куба for (int i = 1; i < 4; i++) { A = a[i] - a[0]; B = a[(i+1)%3+1] - a[0]; Axis.Add(Vector3.Cross(A,B).normalized); } //нормали второго куба for (int i = 1; i < 4; i++) { A = b[i] - b[0]; B = b[(i+1)%3+1] - b[0]; Axis.Add(Vector3.Cross(A,B).normalized); } //...}

Еще мы должны найти все векторные произведения ребер кубов. Это можно организовать простым перебором:

private static List<Vector3> GetAxis(Vector3[] a, Vector3[] b){ //... //получение нормалей //... //Теперь добавляем все векторные произведения for (int i = 1; i < 4; i++) { A = a[i] - a[0]; for (int j = 1; j < 4; j++) { B = b[j] - b[0]; if (Vector3.Cross(A,B).magnitude != 0) { Axis.Add(Vector3.Cross(A,B).normalized); } } } return Axis;}

Полный код

private static List<Vector3> GetAxis(Vector3[] a, Vector3[] b){ //ребра Vector3 A; Vector3 B; //потенциальные разделяющие оси List<Vector3> Axis = new List<Vector3>(); //нормали плоскостей первого куба for (int i = 1; i < 4; i++) { A = a[i] - a[0]; B = a[(i+1)%3+1] - a[0]; Axis.Add(Vector3.Cross(A,B).normalized); } //нормали второго куба for (int i = 1; i < 4; i++) { A = b[i] - b[0]; B = b[(i+1)%3+1] - b[0]; Axis.Add(Vector3.Cross(A,B).normalized); } //Теперь добавляем все векторные произведения for (int i = 1; i < 4; i++) { A = a[i] - a[0]; for (int j = 1; j < 4; j++) { B = b[j] - b[0]; if (Vector3.Cross(A,B).magnitude != 0) { Axis.Add(Vector3.Cross(A,B).normalized); } } } return Axis;}

Акт 4. Проекции на оси

Мы подошли к самому главному моменту. Здесь мы должны найти проекции кубов на все потенциальные разделяющие оси. У теоремы есть одно важное следствие: если объекты пересекаются, то ось на которую величины пересечения проекции кубов минимальна — является направлением(нормалью) коллизии, а длинна отрезка пересечения — глубиной проникновения.

Но для начала напомним формулу скалярной проекции вектора v на единичный вектор a:

$proj_\left\langle \vec{a} \right\rangle \vec{v} = \frac{(\vec{v},\vec{a})}{| \vec{a} |}$

private static float ProjVector3(Vector3 v, Vector3 a){ a = a.normalized; return Vector3.Dot(v, a) / a.magnitude; }

Теперь опишем функцию, которая будет определять пересечение проекций на оси-кандидаты.

На вход подаем вершины двух кубов, и список потенциальных разделяющих осей:

private static Vector3 IntersectionOfProj(Vector3[] a, Vector3[] b, List<Vector3> Axis){ for (int j = 0; j < Axis.Count; j++) { //в этом цикле проверяем каждую ось //будем определять пересечение проекций на разделяющие оси из списка кандидатов } //Если мы в цикле не нашли разделяющие оси, то кубы пересекаются, и нам нужно //определить глубину и нормаль пересечения.}

Проекция на ось задается двумя точками, которые имеют максимальные и минимальные значения на самой оси:

Далее создаем функцию, которая возвращает проекционные точки каждого куба. Она принимает два возвращаемых параметра, массив вершин и потенциальную разделяющую ось.

private static void ProjAxis(out float min, out float max, Vector3[] points, Vector3 Axis){ max = ProjVector3(points[0], Axis); min = ProjVector3(points[0], Axis); for (int i = 1; i < points.Length; i++) { float tmp = ProjVector3(points[i], Axis); if (tmp > max) { max = tmp; } if (tmp < min) { min= tmp; } }}

Итого, применив данную функцию( ProjAxis ), получим проекционные точки каждого куба.

private static Vector3 IntersectionOfProj(Vector3[] a, Vector3[] b, List<Vector3> Axis){ for (int j = 0; j < Axis.Count; j++) { //проекции куба a float max_a; float min_a; ProjAxis(out min_a,out max_a,a,Axis[j]); //проекции куба b float max_b; float min_b; ProjAxis(out min_b,out max_b,b,Axis[j]); //... } //...}

Далее, на основе проекционных вершин определяем пересечение проекций:

Для этого давайте поместим наши точки в массив и отсортируем его, такой способ поможет нам определить не только пересечение, но и глубину пересечения.

 float[] points = {min_a, max_a, min_b, max_b}; Array.Sort(points);

Заметим следующее свойство:

1) Если отрезки не пересекаются, то сумма отрезков будет меньше, чем отрезок сформированными крайними точками:

2) Если отрезки пересекаются, то сумма отрезков будет больше, чем отрезок сформированными крайними точками:

Вот таким простым условием мы проверили пересечение и непересечение отрезков.

Если пересечения нет, то глубина пересечения будет равна нулю:

 //... //Сумма отрезков float sum = (max_b - min_b) + (max_a - min_a); //Длина крайних точек float len = Math.Abs(p[3] - p[0]); if (sum <= len) { //разделяющая ось существует // объекты непересекаются return Vector3.zero; } //Предполагаем, что кубы пересекаются и рассматриваем текущую ось далее //....

Таким образом, нам достаточно иметь хоть один вектор, на котором проекции кубов не пересекаются, тогда и сами кубы не пересекаются. Поэтому, когда мы найдем разделяющую ось, мы сможем не проверять оставшееся вектора, и завершить работу алгоритма.

В случае пересечения кубов, все немного интереснее: проекции кубов на все вектора будет пересекаться, и мы должны определить вектор с минимальным пересечением.

Создадим этот вектор перед циклом, и будем хранить в нем вектор с минимальной длинной. Тем самым в конце работы цикла получим искомый вектор.

private static Vector3 IntersectionOfProj(Vector3[] a, Vector3[] b, List<Vector3> Axis){ Vector3 norm = new Vector3(10000,10000,10000); for (int j = 0; j < Axis.Count; j++) { //... } //в случае, когда нашелся вектор с минимальным пересечением, возвращаем его return norm;{

И каждый раз, когда мы находим ось, на которой проекции пересекаются, проверяем является ли она минимальной по длине среди всех. такую ось умножаем на длину пересечения, и результатом будет искомая нормаль(направление) пересечения кубов.

Так же я добавил определение ориентации нормали по отношению первого куба.

//...if (sum <= len){ //разделяющая ось существует // объекты не пересекаются return new Vector3(0,0,0);}//Предполагаем, что кубы пересекаются и рассматриваем текущий вектор далее //пересечение проекций - это расстояние между 2 и 1 элементом в нашем массиве//(см. рисунок на котором изображен случай пересечения отрезков)float dl = Math.Abs(points[2] - points[1]);if (dl < norm.magnitude){ norm = Axis[j] * dl; //ориентация нормали if(points[0] != min_a) norm = -norm;}//...

Весь код

private static Vector3 IntersectionOfProj(Vector3[] a, Vector3[] b, List<Vector3> Axis){ Vector3 norm = new Vector3(10000,10000,10000); for (int j = 0; j < Axis.Count; j++) { //проекции куба a float max_a; float min_a; ProjAxis(out min_a,out max_a,a,Axis[j]); //проекции куба b float max_b; float min_b; ProjAxis(out min_b,out max_b,b,Axis[j]); float[] points = {min_a, max_a, min_b, max_b}; Array.Sort(points); float sum = (max_b - min_b) + (max_a - min_a); float len = Math.Abs(points[3] - points[0]); if (sum <= len) { //разделяющая ось существует // объекты не пересекаются return new Vector3(0,0,0); } float dl = Math.Abs(points[2] - points[1]); if (dl < norm.magnitude) { norm = Axis[j] * dl; //ориентация нормы if(points[0] != min_a) norm = -norm; } } return norm;}

Заключение

Проект с реализацией и примером загружен на GitHub, и ознакомиться можно с ним здесь.

Моей целью было поделиться своим опытом в решение задач связанных с определением пересечений двух выпуклых объектов. А так же доступно и понятно рассказать о данной теореме.

Теги
Показать больше

Похожие статьи

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Кнопка «Наверх»
Закрыть